(319)--第十五讲(期中测验)(医用数学B2).pptVIP

期 中 总 结 例1. 例2. 例3. 例4. 例5. * * * * 吉林大学数学教学与研究中心 第29、30讲 共计：56讲 主讲教师：王颖 一、常微分方程 1. 基本概念 2. 几种方程 (1)．一阶可分离变量微分方程； (2)．一阶线性微分方程； (3)．可降阶的高阶微分方程 微分方程（常微分方程） 阶、解、通解、特解、初始条件 (4)．二阶常系数线性微分方程 (5)．微分方程组。 (一).基本概念: 理解基本概念,会判断有关问题. (二).方程解法: (1).可分离变量及可化为可分离变量的微分方程 (2).一阶线性微分方程及 Bernoulli 方程 (3). 可降阶高阶微分方程 不同的方程，有不同的解法，只要求会解以下方程: (三). 微分方程组、用Laplace变换解微分方程 2.会用Laplace变换求的微分方程及其微分方程组. 1. 微分方程组的求解; (4). 二阶常系数线性微分方程 ①、二阶常系数线性齐次微分方程 ②、二阶常系数线性非齐次微分方程 代入(1)式 即 得 所以非齐次方程通解 将 代入上式： 得 即 故所求曲线方程 所以 将 代入上式： 解 ；特征根 特征方程 对应齐次方程通解 是单根， 设非齐次方程一特解 代入原方程，得 则 于是 所求方程通解 即 于是 所求解为 二、无穷级数 1. 常数项级数: 2. 幂级数: (1). 判别级数的敛散性. (2). 判别级数的敛散性, 若收 敛求其和. (1)．幂级数的敛散性：求收敛域. (2)．求幂级数的和函数. (3)．求函数的幂级数展开式. 二、无穷级数 (一). 常数项级数 ①. ? N, 级数发散, Y, go on. ⑴ 判断级数 的敛散性，若收敛求其和。 收敛，和为S, 发散. ⑵ 判断级数 的敛散性。 Ⅰ. ? N, 级数发散， Ⅱ．判别级数类型（正项级数，任意项级数） 正项级数： ①.比(根)值判别法： Y, go on. 则 ⑴ 时，级数收敛; ⑵ 时，级数发散; (3) 时，失效. go on. ②.比较判别法: 则 (1) 当 时 二级数有相同的敛散性; (2) 当 时，若 收敛，则 收敛. 大收→小收; 小发→大发 (3) 当 时， 若 ? ￥ = 1 n n v 发散 则 ? ￥ = 1 n n u 发散. ③. 收敛准则： 设 与 都是正项级数 如果 若任意项级数（包括交错级数） 的敛散性。 判别 收敛, 发散. ④. 定义： (二)．幂级数 2．幂级数的和函数 1．幂级数的敛散性：收敛域 ⑴.将函数 f (x) 展成 x 的幂级数（Maclaurin 级数，或 x=０点的Ｔaylor级数） 3. 函数的幂级数展开 ②． 间接法：代入法、四则、分析运算法； ① .直接展开法（一般不用） 4.近似计算：一般了解 判别级数 的敛散性,若收敛,求其和. 解 通项 部分和 和 即级数 收敛，其和为2。 判别级数 的敛散性。 解 通项 所以原级数为正项级数 因为 收敛， 所以级数 收敛。 判别级数 的敛散性，若收敛是条件收敛，还是绝对收敛？ 解 因为 发散， 所以级数 发散 。 由 Leibniz 判别法， 所以原级数收敛, 且为条件收敛。 求幂级数 的收敛域。 解 时，级数为 级数 发散。 所求幂级数的收敛域为 解 所以此级数的收敛域为 求幂级数 的和函数,并求级数 的和. 设 所以 也可先求和函数，再讨论其收敛域: 解 因为 所以 时， 收敛， 且 在 处连续； 所以 不存在。 期 中 测 验 4．求幂级数 收敛域及和函数。 5．将函数 展成 x的幂级数． 3．用Laplace变换求微分方程 ，满 的特解。 足初始条件 直线 相切，求该曲线方程． 1．已知方程 的积分曲线在点 处与 2. 求解微分方程 期 中 测