(313)--第三讲微分方程7-3(医用数学B2).pptVIP

上 讲 提 要 贝努利 ( Bernoulli )方程 第三节 二、 例1. 求解 例2. 求解 例3. 求方程的通解 三、 例1. 求通解 例2. 解初值问题 一、二阶线性微分方程解的性质 推广： Th1 Th2 Th3 Th4 内 容 小 结 Th2 备用题 * * * * 吉林大学数学教学与研究中心 第5～6讲 共计：56 讲 主讲教师：王颖 一阶线性微分方程 1. 齐次方程 亦为可分离变量方程 通解为: 2. 非齐次方程 常数变易法: (1) 写出对应齐次方程: 求出对应齐次方程通解为: 对应齐次方程通解 齐次方程通解 非齐次方程特解 代入原方程得 故原方程的通解 即 即 令非齐次通解为： 两端积分得 令 求出此方程通解后, 换回原变量即得贝努利方程通解. 解法: (一阶线性方程) 方程两边同时除以 得 可降阶高阶微分方程 二、 型的微分方程 一、 型的微分方程 三、 型的微分方程 例. 解 一、 型的微分方程 方程两边通过 n 次积分, 可得含 n 个任意常数的通解 边解边确定任意常数!!! 型的微分方程 设 原方程化为一阶方程 设其通解为 即 再积分，得原方程的通解 解 代入方程得 分离变量 积分得 利用 于是有 两端再积分得 因此所求特解为 将 代入上式, 解 代入方程得 对应齐次方程 令非齐次方程通解: 代入非齐方程: 即 积分 积分, 得 非齐次方程通解: 即 因此所求特解为 将 代入上式, 于是 再积分 将 代入上式, 解 代入方程得 积分得 所求通解为 分离变量 型的微分方程 令 故方程化为 设其通解为 即得 分离变量后积分, 得原方程的通解 代入方程得 两端积分得 故所求通解为 解 解 令 代入方程得 积分得 利用初始条件, 根据 积分得 故所求特解为 得 即 定义 形如 第四节 二阶线性微分方程 ㈠、概念 的方程，称为二阶线性微分方程（ second order linear differential equation），其中 为已知函数。 若 f ( x )=0 ，则方程 称为二阶线性齐次微分方程（ second order linear homogeneous differential equation）。 n 阶线性微分方程的标准形式 若 f ( x ) ≠ 0 ，则方程 称为二阶线性非齐次微分方程（ second order linear nonhomogeneous differential equation），称 f ( x )为非齐次项。 为 n 阶线性齐次微分方程，即 如果 为n 阶线性非齐次微分方程； 如果 ㈡、解的性质 若函数 是 的 解，则函数 也是该方程的 解，其中 和 为任意常数。 证明 因 是 的解, 则 将 代入方程，得 则函数 也是该方程的解。 若函数 是 的 是该方程的通解，其中 和 为任意常数。 说明： 未必是方程的通解。 解，且 不为常数，则 说明： 若 则称 线性无关，否 则 则称 线性相关。 若函数 是 的 线性线性无关解，则 是方程通解。 例如： 为二阶线性齐次微分方程。 则函数 是该方程线性线性无关的解，所以 是此方程通解。 是此方程的解。 因 若函数 是