高考数学母题：模的意义.docVIP

杨老师高考数学丛书,给您一个智慧的人生！请尊重知识产权,不得翻印！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(12-04):模的意义(264) 675 模的意义 [母题]Ⅰ(12-04):(2009年浙江高考试题)设向量a,b满足:|a|=3,|b|=4,ab=0,以a,b,a-b的模为边长构成三角形,则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( ) (A)3 (B)4 (C)5 (D)6 [解析]:由ab=0以a,b,a-b的模为边长构成三角形是直角三角形, 且两直角边长分别为3,4斜边长=5内切圆半径r=1,此时只有三 个交点,对于圆的位置稍一右移或其他的变化,能实现4个交点的情况,但5个以上的交点不能实现.故选(B). [点评]:向量具有几何形式和代数形式的“双重身份”,向量的模则是它的几何形式的代数度量,充分利用向量的几何形式和向量模的几何意义是妙解向量模的问题的有力手段. [子题](1):(2012年辽宁高考试题)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a -b|,则下面结论正确的是( ) (A)a∥b (B)a⊥b (C)|a|=|b| (D)a+b=a -b [解析]:因|a+b|与|a -b|分别表示以a,b为邻边的平行四边形的两条对角线的长度;由|a+b|=|a -b|此平行四边形的对角线相等此平行四边形为矩形a⊥b.故选(B). 注:根据向量加减法和数乘向量的几何意义构造三角形或平行四边形是模的问题几何解法的基础,三角形或平行四边形的性质是模的问题几何解法的工具. [子题](2):(2005年浙江高考试题)己知向量a≠e,|e|=1满足:对任意t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,则 (A)a⊥e (B)a⊥(a-e) (C)e⊥(a-e) (D)(a+e)⊥(a-e) [解析]:令=a,=e,=te,则点T是直线OB上的动点,且|AT|=|a-te|,由|a-te|≥ |a-e||AT|的最小值为AB,即AB是点A到直线OB的距离AB⊥OBe⊥(a-e).故选(C). 注:由该题易知:①若两个非零向量a,b的夹角为θ,则当t=cosθ时,|a-tb|取得最小 值|a|sinθ;②若两个非零向量a,b的夹角θ∈(00,900)∪(900,1800),则对任意t∈R,|a-tb|≥|a-b|恒成立b⊥(a-b) ab=|b|2|a|cosθ=|b|. [子题](3):(2012年浙江高考试题)设a,b是两个非零向量.( ) (A)若|a+b|=|a|-|b|,则a⊥b (B)若a⊥b,则|a+b|=|a|-|b| (C)若|a+b|=|a|-|b|,则存在实数λ,使得b=λa (D)若存在实数λ,使得b=λa,则|a+b|=|a|-|b| [解析]:由|a+b|=|a|-|b|a2+2ab+b2=a2-2|a||b|+b2且|a|-|b|≥0|a||b|=-ab且|a|-|b|≥0a与b反向且|a|-|b|≥0存在实数λ∈(-1,0),使得b=λa.故选(C). 注:根据两个向量加减法则知:|a|,|b|与|ab|构成一个三角形,由三角形边的关系知||a|-|b||≤|ab|≤|a|+|b|,当且仅当a,b共线时等号成立;特别地,当且仅当a与b同向时,|a+b|=|a|+|b|,||a|-|b||=|a-b|;当且仅当a与b反向时,|a-b|=|a|+|b|,||a|-|b||=|a+b|. [子题系列]: 1.(2010年江西高考试题)已知向量a,b满足|a|=1,|b|=2,a与b的夹角为600,则|a-b|= . 2.(2008年上海高考试题)若向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且a与b的夹角为,则|a+b|= . 3.(2008年浙江高考试题)已知a是平面内的单位向量,若向量b满足b(a-b)=0,则|b|的取值范围是 . 4.(2010年浙