高考数学母题：构造向量巧用数积不等式解决最值问题.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 构造向量.巧用数积不等式解决最值问题 解决多元函数最值问题的向量方法 向量作为中学数学的一个交汇点,向量在代数研究中具有广泛的应用,构造向量,不仅可求单元无理函数的值域,而且可以解决多元函数的最值问题. [母题结构]:构造向量,证明:(Ⅰ)(二维柯西不等式)若a,b,x,y∈R,则(a2+b2)(x2+y2)≥(ax+by)2,等号当且仅当a:x=b:y时成立; (Ⅱ)(三维柯西不等式)若a,b,c,x,y,z∈R,则(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2,等号当且仅当a:x=b:y=c:z时成立. [母题解析]:(Ⅰ)令a=(a,b),b=(x,y),则|a|2=a2+b2,|b|2=x2+y2,ab=ax+by;由|ab|≤|a||b||ab|2≤|a|2|b|2(a2+ b2)(x2+y2)≥(ax+by)2,等号当且仅当a与b同向,即a:x=b:y时成立; (Ⅱ)令a=(a,b,c),b=(x,y,z),则|a|2=a2+b2+c2,|b|2=x2+y2+z2,ab=ax+by+cz;由|ab|≤|a||b||ab|2≤|a|2|b|2(a2+ b2+c2)(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2,等号当且仅当a与b同向,即a:x=b:y=c:z时成立. 1.二元函数的最值 子题类型Ⅰ:(2014年浙江高考试题)已知实数a、b、c满足a+b+c=0,a2+b2+c2=1,则a的最大值为 . [解析]:令a=(1,1),b=(b,c),则|a|=,|b|=,ab=b+c=-a;由|ab|≤|a||b||-a|≤3a2≤2 -≤a≤a的最大值为. [点评]:本题中虽有三个变量,但待求a是在约束条件b+c=-a,且b2+c2=1-a2下,所以,构造关于b,c的二维向量. 2.三元函数的最值 子题类型Ⅱ:(2013年湖南高考试题)已知a,b,c∈R,a+2b+3c=6,则a2+4b2+9c2的最小值为 . [解析]:令a=(1,1,1),b=(a,2b,3c),则|a|=,|b|=,ab=a+2b+3c=6;由ab≤|a||b|6≤ a2+4b2+9c2≥12,当且仅当a与b同向,即a:2b:3c=1:1:1a=2,b=1,c=时,等号成立a2+4b2+9c2的最小值为12. [点评]:构造向量的关键是分析向量不等式|ab|2≤|a|2|b|2,使得已知式和待求式均为|a|2、|b|2和|ab|2中之一式. 3.等号成立的条件 子题类型Ⅲ:(2014年辽宁高考试题)对于c0,当非零实数a,b满足4a2-2ab+4b2-c=0,使|2a+b|最大时,-+的最小值为 . [解析]:由4a2-2ab+4b2-c=0=(a-)2+(b)2;令a=(2,),b=(a-,b),则|a|=,|b|=,ab=2(a- )+(b)=2a+b;由|ab|≤|a||b||2a+b|≤,当且仅当a与b同向,即(a-):b=2:a=b c=10b2时,等号成立-+=-=(-2)2-2≥-2最小值为-2. [点评]:向量等式ab=|a||b|成立的充要条件是a与b同向;向量等式ab=-|a||b|成立的充要条件是a与b反向. 4.子题系列: 1.(2014年陕西高考试题)设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则的最小值为 . 2.(2008年全国高中数学联赛江苏初赛试题)如果实数m,n,x,y满足m2+n2=a,x2+y2=b,其中a,b为常数,那么mx+ny的最大值为 . 3.(2014年重庆高考试题)若log4(3a+4b)=log2,则a+b的最小值为( ) (A)6+2 (B)7+2 (C)6+4 (D)7+4 4.(2009年华南理工保送生考试数学试题)已知a、b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最小值为( ) (A)-2 (B)- (C)-3 (D)- 5.(2000年第十一届希望杯全国数学邀请赛(高二)试题)已知x、y、z∈R+,且++=1,则x++的最小值是 . 6.(2003年上海交通大学保送生考试试题)若x、y、z0,且x2+y2+z2=1,则++的最小值为 . 7.(2012年全国高中