高考数学母题：换序分析证明立体几何中的垂直关系.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 换序分析证明立体几何中的垂直关系 立体几何中的基本问题一 立体几何中的垂直关系包括直线与直线垂直、直线与平面垂直和平面与平面垂直等三种;垂直关系是立体几何的核心,无论如何强调垂直关系在立体几何中的地位都不过分,因此,垂直关系是高考的重点;寻找证明垂直关系途径的有效方法是换序分析. [母题结构]:立体几何中的换序分析法. [母题解析]:直线与平面垂直和平面与平面垂直都要转化为直线与直线垂直,因此,直线与直线垂直是立体几何中的垂直关系的核心,换序分析法从直线与直线垂直开始:直线a⊥直线bb⊥a(换序)b⊥m,且b⊥n(m,n是与a共面的相交直线)m⊥b,且n⊥b(换序)直线与直线垂直转化为直线与平面垂直,如此下去,直到已知或基本结论. 1.直线与直线垂直 子题类型Ⅰ:(2012年陕西高考试题)(Ⅰ)如图,证明命题“a是平面π内的一条直线, b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a⊥b,则a⊥c”为真. (Ⅱ)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需要证明). [解析]:(Ⅰ)记c∩b=A,P为直线b上异于点A的任意一点,过P作PO⊥π,垂足为O,则O∈c; 由PO⊥π,aπPO⊥a;又a⊥ba⊥平面PAOa⊥c; (Ⅱ)逆命题为:“a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b 在π上的投影,若a⊥c,则a⊥b”.逆命题为真命题. [点评]:本题的实质是立体几何中直线与直线垂直的核心:三垂线定理,三垂线定理是成语“形影不离”的最恰当的注释;证明线线垂直的一般程序是:①换序分析,即要证a⊥b,去证b⊥a;②线面转换,即要证b⊥a,去证b⊥过a的某一平面. 2.直线与平面垂直 子题类型Ⅱ:(1983年全国高考试题)如图,在三棱锥S-ABC中,S在底面上的射影N位于底面的 高CD上,M是侧棱SC上的一点,使截面MAB与底面所成的角等于∠NSC,求证:SC垂直于截面MAB. [解析]:由SC⊥截面MAB①SC⊥AB,且②SC⊥MD;其中:①SC⊥ABAB⊥SCAB⊥平面SCDAB ⊥CD(己知),且AB⊥SNSN⊥ABSN⊥平面ABC(己知),即①成立;②由AB⊥平面SCD∠MDC是截 面MAB与底面所成的角∠MDC=∠NSC∠CMD=∠CNS=900SC⊥MD,即②成立.综上,SC垂直于截面MAB. [点评]:证明线面垂直的一般程序是:①面线转换,即要证a⊥平面α,去证a⊥平面α内的两条相交直线m,n,转化为线线垂直的问题;②换序分析,即要证a⊥m,去证m⊥a;③线面转换,即要证m⊥a,去证m⊥过a的某一平面. 3.平面与平面垂直 子题类型Ⅲ:(2008年江苏高考试题)如图,在四面体ABCD中,CB=CD,AD⊥BD,点E,F分别 是AB,BD的中点.求证:(Ⅰ)直线EF∥面ACD; (Ⅱ)平面EFC⊥面BCD. [解析]:(Ⅰ)由E,F分别是AB,BD的中点EF∥AD,又EF平面ACD,AD平面ACD直线EF ∥面ACD;(Ⅱ)因平面EFC⊥面BCDEF⊥面BCD①EF⊥BD,且②EF⊥FC;其中:①由EF∥AD,AD ⊥BDEF⊥BD,即①成立;②由EF⊥FCBD⊥FC,而CB=CDCF⊥BD,即②成立.综上,平面EFC⊥面BCD. [点评]:证明面面垂直一般有两种思路:①面线转换,即要证平面α⊥平面β,去证平面α内的某条直线a⊥平面β,转化为线面垂直的问题,这条思路的难点是要有较强的几何直观;②面面转换,即要证平面α⊥平面β,只需证平面α∥平面γ,而平面β⊥平面γ是已知的,或易证的. 4.子题系列: 1.(1993年全国高考试题)已知平面α∩平面β=直线a,α,β同垂直于平面γ,又同平行于直线b. 求证:(Ⅰ)a⊥γ;(Ⅱ)b⊥γ. 2.(1980年全国高考试题)直升飞机上一点P在地平面M上的正射影是A.从P看地平面上一物体B (不同于A),直线PB垂直于飞机窗玻璃所在的平面N(如图).证明:平面N必与平面M相交,且交线 l垂直于AB. 3.(2010年北京高考试题)如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直.EF∥AC, AB=,CE=EF=1. (Ⅰ)求证:AF∥平面BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面BDF. 4.(2014年山东高考试题)如图,四棱锥P-ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD, E,F分别为线段AD,PC的中点. (Ⅰ)求证:AP∥平面BEF; (Ⅱ)求证:BE⊥平面PAC. 5.(1981年全国高考试题)ABCD-A1B1C1D1为一正四棱柱,过A、C、B1三 点作一截面,求证:截