高考数学母题：模型方法.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(20-35):模型方法(557) 1403 模型方法 [母题]Ⅰ(20-35):(1993年全国高考试题)同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡.则四张贺年卡的不同分配方式有( ) (A)6种 (B)9种 (C)11种 (D)23种 [解析]:设四人分别为A、B、C、D,相应贺年卡为1、2、3、4;本题等价于:在四面体ABCD的四个顶 点A、B、C、D处分别不标数字1、2、3、4的不同标数方法;显然点A处可标写数字2、3、4,有3种, 数字1可标写B、C、D处,有3种,当点A处标写数字,且数字1确定后,其它二点处的标写是唯一的 标数方法=3×3×1=9.故选(B). [点评]:计数理论,即排列组合是建立在两个基本模型:“模型Ⅰ(排列模型):从n个不同的元素中取出m个不同元素作排列数=Anm;模型Ⅱ(组合模型):从n个不同的元素中取出m个不同元素作组合数=Cnm”之上的,因此,解决计数问题的根本方法是模型方法;模型方法包括三个层次:①通过对问题进行分类和分步的拆解,转化为两个基本模型;②总结构建常见问题的一般模型,利用模型结论求解其特例问题;③通过巧妙构造适当的模型,使待求问题转化为构建的模型问题. [子题](1):(2006年天津高考试题)将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里,使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号,则不同的放球方法有( ) (A)10种 (B)20种 (C)36种 (D)52种 [解析]:完成分球入盒有两步:首先分球有两种情况:①各放2个;②1号放1个,2号放3个;然后入盒:①各放2个,有C42C22=6种;②1号放1个,2号放3个,有C41C33=4不同的放球方法=6+4=10种.故选(A). 注:每个计数,即排列组合问题,都有明确的“事”,如何合理的设计完成这件“事”是解决问题的关键,合理的设计思想把待求的计数问题分解为基本模型的有力思想方法. [子题](2):(2006年江苏高考试题)今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有 种不同的方法(用数字作答). [解析]:先在9个位置中选4个位置排白球,有C94种排法,再从剩余的5个位置中选2个位置排红球,有C52种排法,剩余的三个位置排黄球有C33种排法共有C94C52C33=1260种不同的方法. 注:本题是典型的重复元素的排列:若n个元素中有n1个a1,n2个a2,…,nk个ak,其中n1+n2+…+nk=n,则这n个元素的全排列数为:;利用该模型可解决质点跳动和最短距离问题. [子题](3):(重复元素的组合)从n个不同元素中(每个元素有尽可能的多),任意可重复的选取m(m≥1)个元素的不同选法为 . [解析]:不妨设n个不同元素分别为1,2,…,n,取出的m个元素分别为a1,a2,…,am(1≤a1≤a2≤…≤am≤n)1≤a1+0a2+ 1…am+m-1≤n+m-1;由{a1,a2,…,am}与{a1+0,a2+1,…,am+m-1}成一一对应取出的m个元素组合{a1,a2,…,am}个数=组合{a1+0,a2+1,…,am+m-1}的个数;而组合{a1+0,a2+1,…,am+m-1}的个数是从1,2,…,n+m-1中取出m个元素的组合数=Cn+m-1m. 注:重复元素的排列与组合是计数中的两个基本模型,本题不仅具有模型功能,而且具有方法功能:巧妙构造适当的模型,使待求问题转化为构建的模型问题是模型方法的高等应用. [子题系列]: 1.(2005年江苏高考试题)四棱锥的8条棱分别代表8种不同的化工产品,有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是危险的,没有公共点的两条棱所代表的化工产品放在同一仓库是安全的.现打算用编号为①、②、③、④的4个仓库存放这8种化工产品,那么安全存放的不同方法种数为( ) (A)96 (B)48 (C)24 (D)0 2.(2013年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)7个花色不同的小球放到编号分别为1、2、3的3个盒子内,要求各