高考数学母题：模型函数Ⅰ与Ⅱ的等价变换.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅱ(一-27):模型函数Ⅰ与Ⅱ的等价变换(727) 0061 模型函数Ⅰ与Ⅱ的等价变换 [母题]Ⅱ(一-27):(1990年全国高考试题)求函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值. [解析]:设t=sinx+cosx=sin(x+)∈[-,],则sinxcosx=(t2-1)y=(t2-1)+t=(t2+2t-1)当t=时,y的最大值=+. [点评]:在高中阶段我们学习了两类基本函数模型,分别是模型函数Ⅰ(包括多项式函数、分式函数、幂函数和指数、对数函数)和模型函数Ⅱ(三角函数).那么这两类函数之间能否相互转换？可否相互作用？ [子题](1):(2010年北京高考试题)(理)已知函数f(x)=2cos2x+sin2x-4cosx.(Ⅰ)求f()的值; (Ⅱ)求f(x)的最大值和最小值. [解析]:由f(x)=2(2cos2x-1)+(1-cos2x)-4cosx=3cos2x-4cosx-1;(Ⅰ)f()=-;(Ⅱ)设t=cosx∈[-1,1],则f(x)= g(t)=3t2-4t-1=3(t-)2-fmax(x)=g(-1)=6,fmin(x)=g()=-. 注:模型函数Ⅱ转换为模型函数Ⅰ的基本途径是把三角函数视为一个变量t,特别注意:t=sinx∈[-1,1],t=cosx∈[-1,1]. [子题](2):(1988年日本高考试题)设a为正常数,求函数f(x)=2a(sinx+cosx)-sinxcosx-2a2的最大值和最小值. [解析]:设t=sinx+cosx=sin(x+)∈[-,],则sinxcosx=(t2-1)f(x)=g(t)=2at-(t2-1)-2a2=-(t- 2a)2+fmin(x)=g(-)=-2a2-2a-;当2a,即a∈(0,)时,fmax(x)=g(2a)=;当2a≥,即a≥时,fmax(x)=g()=-2a2+2a-. 注:关于sinxcosx与sinxcosx在一个函数f(x)中出现并求研究f(x)的问题,可通过引入变元t=sinx+cosx,转化成闭区间[-,]上以t为变元的函数问题. [子题](3):(2013年全国高中数学联赛湖北初赛试题)求函数y=x2+x的值域. [解析]:由x2-1≥0x≤-1或x≥1,令x=,θ∈(0,)∪(,π),则y=+=+ ;①当θ∈(0,)时,y===0;②当θ∈(,π)时,y===.综上,函数的值域是(,+∞). 注:模型函数Ⅰ转换为模型函数Ⅱ的基本方法:首先确定函数的定义域D,再分析哪个三角函数的值域恰为D,由此进行三角换元;其中特殊注意:三角换元时,确定角的范围. [子题系列]: 0062 [母题]Ⅱ(一-27):模型函数Ⅰ与Ⅱ的等价变换(727) 1.(2002年上海高考试题)已知函数f(x)=x2+2xtanθ-1,x∈[-1,],其中θ∈(-,).(Ⅰ)当θ=-时,求函数y= f(x)的最大值与最小值;(Ⅱ)求θ的取值范围,使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数. 2.(2008年四川高考试题)求函数y=7-4sinxcosx+4cos2x-4cos4x的最大值与最小值. 3.(2010年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知函数f(x)=sin(x+)+2sin(x-)-4cos2x+3cos(x+). (Ⅰ)试判断函数f(x)的奇偶性,并给出证明;(Ⅱ)求f(x)在[,π]上的最小值与最大值. 4.(2007年全国高中数学联赛四川初赛试题)若x∈(0,),求f(x)=2cos3x+3cos2x-6cosx-2cos3x的最大值及取最大 值时x的值. 5.(2011年全国高中数学联赛四川初赛试题)已知函数f(x)=2(sin4x+cos4x)+m(sinx+cosx)4在x∈[0,]有最大值5, 求实数m的值. 6.(2012年全国高中数学联赛湖北初赛试题)已知正实数a,b满足a2+b2=1,且a3+b3+1=m(a+b+1)3,求m的取值范围. [子题详解]: 1.解:(Ⅰ)当θ=-时,f(x)=x2-x-1fmin(x)=f()=-,fmax(x)=f(-1)=;(Ⅱ)由f(x)的图像的对称轴为x=- tanθ,所以,f(