高考数学母题：构造向量巧用数积不等式证明不等式.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 构造向量.巧用数积不等式证明不等式 不等式的向量数积证明法 在现行课标高考中,不等式的证明是三大选做题之一;构造向量,利用向量不等式:|ab|≤|a||b|,可妙证不等式具有独特之处;该法比常规解法更灵活、巧妙、直接,有利于对有关知识的加深、整合和能力提升. [母题结构]:构造向量,证明:(柯西不等式)当ai,bi∈R(i=1,2,…,n)时,(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+ anbn)2,等号当且仅当a1:b1=a2:b2=…=an:bn时成立. [母题解析]:令a=(a1,a2,…,an),b=(b1,b2,…,bn),则|a|2=a12+a22+…+an2,|b|2=b12+b22+…+bn2,ab=a1b1+a2b2+…+anbn;由|ab|≤|a||b||ab|2≤|a|2|b|2(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,等号当且仅当a与b同向,即a1:b1= a2:b2=…=an:bn时成立. 1.认识模式 子题类型Ⅰ:(2014年浙江高考试题)设正数a,b,c满足abc=a+b+c,求证:ab+4bc+9ac≥36,并给出等号成立条件. [解析]:由abc=a+b+c++=1;令a=(,2,3),b=(,,),则|a|2=ab+4bc+9ac,|b|2= 1,ab=6;由|ab|≤|a||b||ab|2≤|a|2|b|2ab+4bc+9ac≥36,等号当且仅当a与b同向,即:2:3=: ::2:3=::a:b:c=2:3:1a=2,b=3,c=1时成立. [点评]:对向量不等式|ab|2≤|a|2|b|2的结构把握,即模式认识是构造向量证明不等式的关键;由不等式|ab|2≤|a|2|b|2的独特结构,使得某些含有乘积之和或乘方之和的不等式证明,应用向量不等式可迎刃而解. 2.模式应用 子题类型Ⅱ:(2013年课标Ⅱ高考试题)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (Ⅰ)ab+bc+ac≤; (Ⅱ)++≥1. [解析]:(Ⅰ)由a+b+c=1a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以,ab+bc+ac≤a2+b2+c2≥;令a=(1,1,1),b=(a,b,c),则|a|2=3,|b|2=a2+b2+c2,ab=a+b+c=1;由|ab|≤|a||b||ab|2≤|a|2|b|23(a2+b2+c2)≥1a2+b2+c2≥ab+bc+ac≤; (Ⅱ)令a=(,,),b=(,,),则|a|=1,|b|2=++,ab=1;由|ab|≤|a||b|++≥1. [点评]:应用向量不等式|ab|2≤|a|2|b|2,就是通过向量构造,使得已知式和待求式均为|a|2、|b|2和|ab|2中之一式;特别在证明一类分式和的下界不等式时向量不等式更具有独特的功效. 3.模式本质 子题类型Ⅲ:(2015年福建高考试题)已知a0,b0,c0,函数f(x)=|x+a|+|x-b|+c的最小值为4. (Ⅰ)求a+b+c的值; (Ⅱ)求a2+b2+c2的最小值. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=|x+a|+|x-b|+c≥|(x+a)-(x-b)|+c=a+b+c,当且仅当-a≤x≤b时等号成立a+b+c=4; (Ⅱ)令a=(2,3,1),b=(a,b,c),则|a|2=14,|b|2=a2+b2+c2,ab=a+b+c=4;由|ab|≤|a||b||ab|2≤|a|2|b|214 (a2+b2+c2)≥16a2+b2+c2≥,当且仅当a与b同向,即a:b:c=2:3:1a=,b=,c=时,等号成立 a2+b2+c2的最小值为. [点评]:构造向量证不等式的实质就是根据问题的结构特征与向量不等式的结构特征的相似性,通过构造适当的向量实施转化,解决问题,是一种典型的模式解题方法;透析向量不等式中所蕴涵的模式,准确把握问题结构的本质,是有效构造向量解决问题的关键. 4.子题系列: 1.(2009年浙江高考试题)已知正数x、y、z满足x+y+z=1. (Ⅰ)求证:++≥; (Ⅱ)求4x+4y+4的最小值. 2.(2010年浙江高考试题)设正实数a,b,c满足abc≥1求++的最小值. 3.(2011年浙江高考试题)设正数x,y,z满足2x+2y+z=1. (Ⅰ)求3xy+yz+zx的最大值; (Ⅱ)证明:++≥. 4.(2012年福建高考试题)已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1]. (Ⅰ)求m的值; (Ⅱ)若a,b