高考数学母题：目标函数的变式问题.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(17-18):目标函数的变式问题 1 目标函数的变式问题 [母题]Ⅰ(17-18):(2010年安徽高考试题)设x,y满足约束条件,若目标函数z=abx+y(a0, b0)的最大值为8,则a+b的最小值为 . [解析]:约束条件对应四边形OABC边界及内部的区域,其中,A(,0),B(1,4),C(0,2);①当(x,y)=(0,0)时,z=abx+y=0;②当(x,y)=(,0)时,z=abx+y=ab;③当(x,y)=(1,4)时,z=abx+y=ab+4;④当(x,y)=(0,2)时,z=abx+y=2.综上,z=abx+y (a0,b0)的最大值=ab+4=8ab=4a+b≥2=4a+b的最小值为4. [点评]:目标函数是高考命题的着力点,对目标函数进行变式,则是高考创新的重要手段. [子题](1):(2008年山东高考试题)设二元一次不等式组所表示的平面区域为M,使函数y=ax(a0,a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是( ) (A)[1,3] (B)[2,] (C)[2,9] (D)[,9] [解析]:如图,阴影部分为不等式组所对应的平面区域M,其中A(1,9),B(3,8), C(2,10)使函数y＝ax(a0,a≠1)的图象过区域M,由图易知,只须区域M的顶点 A,B不位于函数y＝ax图象的同侧,即不等式(a-9)(a3-8)≤02≤a≤9.故选(C). 注:本题以函数图像过平面区域对目标函数进行变式,该类型问题强化区域,体现了区域定理在函数中的应用. [子题](2):(2014年山东高考试题)已知x,y满足的约束条件,当目标函数z=ax+by(a0,b0)在该约束条件下取得最小值2时,a2+b2的最小值为( ) (A)5 (B)4 (C) (D)2 [解析]:约束条件对应的开区域的顶点为A(2,1)当(x,y)=(2,1)时,z=ax+by取得最小值22a+b=2,由,a2+b2的最小值=点O直线2a+b=2的距离的平方=4.故选(B). 注:本题目标函数的逆向问题,该类型问题可与函数、不等式和解析几何进行无缝对接,体现了综合的一种途径. [子题](3):(2014年福建高考试题)已知圆C:(x-a)2+(y-b)2=1,平面区域Ω:,若圆心C∈Ω,且圆C与x轴相切,则a2+b2的最大值为( ) y (A)5 (B)29 (C)37 (D)49 A [解析]:由约束条件对应的平面区域为△ABD,其中A(2,5), B(7,0),C(-3,0),如图,由C∈Ω,且圆C与x轴相切b=1, N M(6,1) 作直线y=1与△ABD交于M(6,1),N(-2,1)-2≤a≤6a2+ C O B x b2=a2+1的最大值=37.故选(C). 注:本题以圆与平面区域的关系对目标函数进行变式,该类型问题可有机的考察数形结合的思想. [子题系列]: 2 [母题]Ⅰ(17-18):目标函数的变式问题 1.(2010年北京高考试题)设不等式组,表示的平面区域为D,若指数函数y=ax的图像上存在区域D上的点,则a的取值范围是( ) (A(1,3] (B)[2,3] (C)(1,2] (D)[3,+∞) 2.(2012年福建高考试题)若函数y=2x图像上存在点(x,y)满足约束条件,则实数m的最大值为( ) (A)