高考数学母题：目标函数的函数表示.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(16-16):目标函数的函数表示(417) 1071 目标函数的函数表示 [母题]Ⅰ(16-16):(2008年上海高考试题)在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6).如果P(x,y)是△ABC围成的区域(含边界)上的点,那么当u=xy取到最大值时,点P的坐标是 . [解析]:要求u的最大值,x,y应尽可能的大,所以,应在线段BC:y=-2x+10(2≤x≤4)上取得,此时,u=xy=x(-2x+10)=2x(5 -x)≤,当且仅当x=时,等号成立y=5P(,5). [点评]:本题开创了目标函数的函数表示型问题,该类问题的基本特点是目标函数没有直接的截距、距离和斜率意义. [子题](1):(2010年第21届“希望杯”数学邀请赛(高二)试题)设D表示二元一次不等式组所确定的区域,则D的面积等于 ,的取值范围是 . [解析]:区域D为△ABC,其中A(2,4),B(2,2),C(3,3)D的面积等于=1;令t=,则kOB≤≤kOA1≤≤21≤t≤2;由==3-∈[,]. 注:若目标函数u是关于x,y的齐次分式,则可转化为斜率的函数,先求斜率的范围,然后通过求函数的值域解决问题. [子题](2):(原创题)如果实数x,y满足:,则的取值范围是 . [解析]:约束条件的可行域如图:在区域内任取一点P(x,y),并设∠POx=θ,由图知, y θ∈(,π],由三角函数的定义知sinθ=,cosθ= =cosθ+sinθ=2sin(θ+);由θ∈(,π]θ+∈(,]2sin(θ+) O x ∈[-,)的取值范围是[-,). 注:若目标函数u是关于x,y的齐次分式,且含x2+y2式,还可通过三角函数的定义进行转化. [子题](3):(原创题)设实数x,y满足,则u=的取值范围是 . [解析]:由u=;①要使u取最小值,x,y应尽可能的大,所以,应在线段BC:x-y-2=0(3≤x≤4)上取得,此时,u=+ 在[3,4]上单调递减u的最小值=;②要使u取最大值,x,y应尽可能的小,所以,应在线段AC:x+2y-5=0(1≤x≤ 3)上取得,此时,u=+在[1,]上单调递减,在[,3]上单调递增u的最大值=,综上,u的取值范围是[,]. 1072 [母题]Ⅰ(16-16):目标函数的函数表示(417) 注:对于一般的目标函数u=f(x,y),首先根据区域分析在区域的哪个边界上取得最值,然后把边界方程代入目标函数,把目标函数由二元转化为一元函数g(x),在边界方程的范围内,求g(x)的最值. [子题系列]: 1.(2008年北京高考试题)若实数x、y满足,则z=3x+2y的最小值是( ) (A)0 (B)1 (C) (D)9 2.(2013年山东莱钢高中二质检试题)设实数x,y满足,则u=的取值范围是 . 3.(2013年苏州市高三第一学期期末考试试题)已知实数x,y满足,则的取值范围是 . 4.(原创题)如果实数x,y满足:,则z=xy的最大值是( ) (A) (B)12 (C) (D)13 5.(原创题)设实数x,y满足,则u=x+y2的取值范围是 . 6.(原创题)设实数x,y满足,则u=x2-y2的取值范围是 . [子题详解]: 1.解:约束条件是△ABC区域,其中,A(-0.5,0.5),B(0,1),C(0,0)x+2y的最小值=0z的最小值=1.故选(B). 2.解:约束条件是△ABC区域,其中,A(1,2),B(4,2),C(3,1),在△ABC区域内任取一点P(x,y),则k==kOP∈[kOC,kOA]=[,2],因此,u= f(k)=k+(k∈[,2])u的取值范围=f(k)的值域=[f(1),f()]=[2,]. 3.解:由约束条件确定的区域是△ABC