高考数学母题：球面距离.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(14-44):球面距离(358) 929 球面距离 [母题]Ⅰ(14-44):(1998年全国高考试题)球面上有3个点,其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的,经过这3个点的小圆的周长为4π,那么这个球的半径为( ) (A)4 (B)2 (C)2 (D) [解析]:设3个点分别为A、B、C,球心为O,球的半径为R,由球面距离=R∠AOB= 2πR∠AOB=R=OA=AB;由ΔABC外接圆周长为4π外接圆半径r=2 AB=2rsin600=2.故选(B). [点评]:球面距离是独特且现实的概含,与圆类比可建立球面距离的母题模型如下: 项目 圆 球 模型 Ⅸ 1.定义:圆上两点间的劣弧的长度,叫做两点的圆周距离. 2.公式:①圆O上A、B两点的圆周距离l=αr,其中,r是圆的半径,∠AOB=α∈(0,π]; ②圆O上A、B两点,如果AB=a,则A与B的圆周距离l=αr,其中r是圆的半径, ∠AOB=α∈(0,π]满足cosα=1-. 1.定义:经过球面上两点的大圆在这两点间的劣弧的长度,叫做两点的球面距离; 2.公式:①球O上A、B两点的球面距离l=αR,其中,R是球的半径,∠AOB=α∈(0,π]; ②球O上A、B两点,如果AB=a,则A与B的球面距离l=αR,其中,R是球的半径, ∠AOB=α∈(0,π]满足cosα=1-. [子题](1):(2007年安徽高考试题)把边长为的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角,折成直二面角后,在A,B,C,D四点所在的球面上,B与D两点之间的球面距离为( ) (A)π (B)π (C) (D) B [解析]:如图,把折成后的几何体放置到正方体中,取AC的中点 D O,则OA=OB=OC=OD=1O是球心,球的半径R=1,球心角θ=∠BOD=,所以,B与D的球面距离=Rθ=1×=.故选(C). 注:球面距离公式为L=Rθ,所以解决A与B的球面距离问题的关键有二:一是求球的半径R,而此点的关键是确定球心;二是求球心角θ,一般球心角θ由|AB|2=|AB|2=2R2-2R2cosθ求出. [子题](2):(2008年安徽高考试题)己知点A、B、C、D在同一个球面上,AB⊥平面BCD,BC⊥CD.若AB=6,AC=2,AD=8,则B,C两点间的球面距离是 . A [解析]:如图,把四面体ABCD放置到一个长方体中,则该四面体的外接球就是长 O 方体的外接球,AD为直经,所以半径R=4,在直角△ABC中,由AB=6,AC=2,得 B C BC=4∠BOC=,所以,B,C两点间的球面距离=R×∠BOC=. D 注:以长方体ABCD-A1B1C1D1的顶点为顶点的空间四面体有:①一个顶点上的三条棱两两相互垂直的“直角四面体”,如四面体D-AD1C; ②每个面都是直角三角形的“Z型四面体”,如四面体D1-DCB; ③对棱相等的“等腰四面体”,如四面体D-A1BC1; ④两直角三角形构成的“钝角四面体”,如四面体D1-ABC.以上每个四面体可称为长方体的内接四面体.长方体的每个内接四面体的外接球与长为体的外接球重合. 930 [母题]Ⅰ(14-44):球面距离(358) [子题](3):(2009年陕西高考试题)如图,球O的半径为2,圆O1是一小圆, OO1=,A、B是圆O1上两点,若A、B两点间的球面距离为π,则∠AO1B= . [解析]:设圆O1的半径为r,则()2+r2=22r=O1A=O1B=;由A、B两 点间的球面距离为π2∠