高考数学母题：曲线切线高考试题中的风景线.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 641 [中国高考数学母题](第184号) 曲线切线.高考试题中的风景线 导数的引入,为我们求圆锥曲线在其上一点处的切线方程提供了有力工具,也许正是足于同样的考虑,高考命题专家命制了一系列此类抛物线的切线试题,构成一道靓丽的风景线. [母题结构]:(Ⅰ)(函数型)若点P(x0,y0)在抛物线C:x2=2qy(q≠0)上,则抛物线C在点P处的切线l:x0x=q(y+y0); (Ⅱ)(复合型)若点P(x0,y0)在曲线G:ax2+cy2+dx+ey+f=0上,则曲线G在点P处的切线:ax0x+cy0y+d+e+f=0; (Ⅲ)(切点弦)从点P(x0,y0)引曲线G:ax2+cy2+dx+ey+f=0的两条切线,切点分别为A、B,则直线AB的方程为:ax0x+cy0y+ d+e+f=0. [母题解析]:略. 1.函数型 子题类型Ⅰ:(2009年浙江高考试题)已知椭圆C1:+=1(ab0)的右顶点为A(1,0),过C1 的焦点且垂直长轴的弦长为1.(Ⅰ)求椭圆C1的方程; (Ⅱ)设点P在抛物线C2:y=x2+h(h∈R)上,C2在点P处的切线与C1交于点M,N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时,求h的最小值. [解析]:(Ⅰ)由椭圆C1的右顶点为A(1,0)b=1,又由过C1的焦点且垂直长轴的弦长==1a=2椭圆C1:+x2=1; (Ⅱ)设P(t,t2+h),M(x1,y1),N(x2,y2),则线段PA的中点的横坐标=;由y=x2+h=2x=2tC2在点P处的切线:y-(t2+h)=2t(x-t),即y=2tx-t2+h,代入y2+4x2=4得:4(1+t2)x2-4t(t2-h)x+(t2-h)2-4=0x1+x2=MN的中点的横坐标==;由=t2+(h+1)t+1=0(h+1)2-4≥0h≥1,或h≤-3(舍去)h的最小值=1. [点评]:对函数型抛物线切线的考查,求抛物线的切线方程是此类问题的核心;其中较考查的重要方式是立意于与圆锥曲线的交汇,此类试题的命题范围广泛;解决问题的核心是求抛物线的切线方程,并灵活运用. [同类试题]: 1.(2014年江西高考试题)如图,已知抛物线C:x2=4y,过点M(0,2)任作一直线与C相交于A,B两点, 点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点).(Ⅰ)证明:动点D在定直线上; (Ⅱ)作C的任意一条切线l(不含x轴)与直线y=2相交于点N1,与(Ⅰ)中的定直线相交于点N2,证明: |MN2|2-|MN1|2为定值,并求此定值. 2.(2012年福建高考试题)如图,等边三角形OAB的边长为8,且其三个顶点均在抛物线E:x2=2py (p0)上.(Ⅰ)求抛物线E的方程; (Ⅱ)设动直线l与抛物线E相切于点P,与直线y=-1相交于点Q.证明:以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点. 2.复合型 子题类型Ⅱ:(2014年山东高考试题)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有|FA|=|FD|,当点A的横坐标为3时,ΔADF为正三角形. (Ⅰ)求C的方程; (Ⅱ)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E.(i)证明:直线AE过定点,并求出定点坐标; (ii)ΔABE的面积是否存在最小值？若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由. 642 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 [解析]:(Ⅰ)设A(2pa2,2pa),则|AF|=2pa2+;由|FD|=|FA|=2pa2+D(2pa2+p,0);因当点A的 横坐标为3时,ΔADF为正三角形当2pa2=3时,且|AD|=3+=3+= 3+p=2抛物线C:y2=4x; (Ⅱ)设E(t2,2t);由y2=4x2y=4=;由kl=kAD=-2a,及l1∥l=-2at=-;(i)由直线AE:y-4a= (x-4a2)(2a+t)y-4at=2x(2a+t)y-2=2x过定点F(1,0);(ii)设B(4b2,4b),由kAB=kAD=2a=-2ab=-a-;由ΔABE的面积S=|(4a2-t2)(2b-t)-(4b2-t2)(2a-t)|=2|a-b||(2a-t)(2b-t)|=2|2a+|3≥16;当且仅当a=时等号成立. [点评]:求曲线的切线方程,①要用到复合函数的求导法则,即=2y;②要注意设切点:抛物线G:y2=2px(p≠0)上任意一点可设为P(2pt2,2pt);椭圆G:+=1(a≠b)上任意一点可设为P(