高考数学母题：曲线系思想 .docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(17-65):曲线系思想(483) 1235 曲线系思想 [母题]Ⅰ(17-65):(2010年上海春招试题)已知双曲线C经过点(1,1),它的一条渐近线方程为y=x,则双曲线C的标准方程是 . [解析]:由一条渐近线方程为y=x的双曲线系Cλ:3x2-y2=λ(λ≠0),将点(1,1)代入得λ=2双曲线C:3x2-y2=2. [点评]:曲线系思想是方程思想的深化,基本曲线系:①共渐近线的双曲线系;②共焦点的曲线系;③曲线系的基本原理. [子题](1):(2013年浙江高考试题)如图,F1,F2是椭圆C1:+y2=1与双曲线C2的公共焦 点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率为( ) (A) (B) (C) (D) [解析]:由C2与C1有公共焦点,可设双曲线C2:-=1(1λ4),则|AF2|-|AF1|=2,由|AF2|+|AF1|=4|AF2|= 2+,|AF1|=2-;又由|AF2|2+|AF1|2=|F1F2|2(2+)2+(2-)2=12λ=2e=.故选(D). 注:①与曲线C:+=1共焦点的圆锥曲线系Cλ:+=1(λ≠m,λ≠n);②焦点分别为F1(-c,0)、F2(c,0)的圆锥曲线系Cλ:+=1(λ≠0,λ≠c2). [子题](2):(1984年全国高中数学联赛上海初赛试题)过二次曲线C1:3x2+8y2?6x?32y=0与C2:9x2?16y2?18x+24y=0的交点的抛物线方程为 . [解析]:由过C1与C2的交点的曲线系Cλ:3x2+8y2?6x?32y+λ(9x2?16y2?18x+24y)=0(3+9λ)x2+(8-16λ)y2-6(3λ+1)x+ 8(3λ-4)y=0;①令3+9λ=0λ=-,得抛物线:y2?3y=0(它是抛物线的退化情况,代表两条直线y=0,y=3);②令8-16λ= 0λ=,抛物线:3x2-6x=8y.综上,抛物线方程:y2?3y=0或3x2-6x=8y. 注:曲线系的基本原理是:过曲线C1:f1(x,y)=0与C2:f2(x,y)=0的交点的曲线系方程为:f1(x,y)+λf2(x,y)=0. [子题](3):(2012年浙江高考试题)如图,F1,F2分别是双曲线C:-=1(a,b0)的左、右焦点, B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别教育P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交与点M, 若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是( ) (A) (B) (C) (D) [解析]:由直线F1B:-+=1,代入渐近线:-=0得:-(+1)2=0(-)x2-x-1=0b2x2-2a2cx-a2c2=0 PQ中点N的横坐标xN=N(,)直线MN:y-=-(x-)M(+c,0)|F2M|=;又由|MF2|=|F1F2|=2ce=.故选(B). 注:双曲线的两条渐近线可合成退化的二次曲线,进一步两直线合成二次曲线是曲线系的重要思想方法. 1236 [母题]Ⅰ(17-65):曲线系思想(483) [子题系列]: 1.(1993年第四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)对于任意的a∈R,曲线系ax2-2xy-ax-y-2a+1=0的所有曲线都经过两个定点,这两个定点的坐标是 . 2.(2014年全国高中数学联赛广东预赛试题)若方程x2-xy-2y2+x+a=0表示两条直线,则a的值是 . 3.(2014年北京高考试题)在设曲线C经过点(2,2),且-x2=1具有相同渐近线,则C的方程是 . 4.(2014年广东高考试题)若实数k满足0k9,则曲线-=1与曲线-=1的( ) (A)离心率相等 (B)虚半轴长相等 (C)实半轴长相等 (D)焦距相等 5.(1