高考数学母题：活用过两点的直线方程巧妙解决有关三线试题.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 活用过两点的直线方程.巧妙解决有关三线试题 解析几何中的三线方程 点P(a,b)在曲线C:f(x,y)=0上f(a,b)=0,这是解析几何的基本结论,由此可得过两点的直线方程: [母题结构]:若不同两点A(x1,y1),B(x2,y2)满足ax1+by1+c=0,ax2+by2+c=0,则直线AB的方程为:ax+by+c=0. [母题解析]:该结论简单易懂,容易掌握,由此可求解析几何中的三线(中点弦、切线和切点弦)方程. 1.中点弦方程 子题类型Ⅰ:(2006年北京高考试题)椭圆C:+=1(ab0)的两个焦点为F1、F2,点P在椭圆C上,且PF1⊥F1F2, |PF1|=,|PF2|=.(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)若直线l过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M,交椭圆C于A、B两点,且A、B关于点M对称,求直线l的方程. [解析]:(Ⅰ)由2a=|PF1|+|PF2|=6a=3,又因|PF1|==b=2椭圆C的方程:=1; (Ⅱ)M(-2,1),设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-4,y1+y2=2,由4x12+9y12=36,4x22+9y22=364(4+x2)2+9(2-y2)2=36,4(4+x1)2+ 9(2-y1)2=364x22+9y22+32x2-36y2+64=0,4x12+9y12+32x1-36y1+64=08x2-9y2+25=0,8x1-9y1+25=0直线l:8x-9y+25=0. [点评]:由本题方法可得一般性结果:曲线G:ax2+cy2+dx+ey+f=0以点P(x0,y0)为中点的弦:ax0x+cy0y+d+e +f=ax02+cy02+dx0+ey0+f. 2.切线方程 子题类型Ⅱ:(2013年全国高中数学联赛湖北预赛试题)已知F为椭圆C:+=1的右焦点,过椭圆C外一点P作椭圆C的切线,切点为M.若∠PFM=900,则点P的轨迹方程为 . [解析]:设M(2cosθ,sinθ),P(x,y),F(1,0),则切线PM:+=1…①;又由∠PFM=900=0 (x-1)(2cosθ-1)+ysinθ=0,代入①得:-=1x=4点P的轨迹方程为x=4; [点评]:当曲线G的弦的两个端点重合于P(x0,y0)时,由中点弦方程可得切线方程:若点P(x0,y0)在曲线G:ax2+cy2+dx+ey+ f=0上,则曲线G在点P处的切线方程为:ax0x+cy0y+d+e+f=0. 3.切点弦方程 子题类型Ⅲ:(2008年全国高中数学联赛湖南初赛试题)过直线l:5x-7y-70=0上的点P 作椭圆+=1的两条切线PM、PN,切点分别为M、N. (Ⅰ)当点P在直线l上运动时,证明:直线MN恒过定点Q; (Ⅱ)当MN∥l时,定点Q平分线段MN. [解析]:(Ⅰ)在直线l上任取一点P(7t+7,5t-5),设M(x1,y1),N(x2,y2),则切线PM:9x1x+25y1y=225,PN:9x2+25y2=225;由切线PM、PN均过点P(7t+7,5t-5)9(7t+7)x1+25(5t-5)y1=225,9(7t+7)x2+25(5t-5)y2=225切点弦MN:9(7t+7)x+25(5t- 5)y=225恒过定点Q(,-);(Ⅱ)当MN∥l时,t=切点弦MN:5x-7y-=0恰是以点Q为中点的弦. [点评]:由本题方法可得一般性结果:从点P(x0,y0)引曲线G:ax2+bxy+cy2+dx+ey+f=0的两条切线,切点分别为M、N,则直线MN的方程为:ax0x+b+cy0y+d+e+f=0. 4.子题系列: 1.(1999年第十届希望杯数学竞赛试题)若点M(a,)和N(b,)都在直线l:x+y=1上,则( ) (A)点P(c,)和Q(,b)都在l上 (B)点P(c,)和Q(,b)都不在l上 (C)点P(c,)在l上,点Q(,b)不在l上 (D)点P(c,)不在l上,点Q(,b)在l上 2.(1998年第九届希望杯数学邀请赛高二试题)设a,b是方程x2+(cotθ)x–cosθ=0的两个不等实根,那么过点A(a,a2)和B(b,b2)的直线与圆x2+y2=1的位置关系是( ) (A)相离 (B)相切 (C)相交 (D)随θ的值而变化 3.(2010年第二十一届希望杯数学邀请赛高二试题)设a,b是方程x2+xtanθ-sinθ=0的两个不等实根,那么过点A(a,a2)和B(b,b2)的直线与