高考数学母题：确定目标巧分离证明函数不等式.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 确定目标巧分离.证明函数不等式 利用分离函数法.证明函数不等式 证明函数不等式f(x)≥0是高考的热点问题,如果采用常规方法:“求函数f(x)的最小值m,证明m≥0”解决,有时其导函数的零点不可求,思维受阻,此时,可考虑分离函数,避免导函数的零点不可求,达到解决问题的目的. [母题结构]:分离函数法,证明函数不等式:f(x)≥0. [解题程序]:分离函数法,证明函数不等式:f(x)≥0的关键是对不等式:f(x)≥0进行等价变形,变为不等式:g(x)≥h(x),目标是使得g(x)与h(x)的导函数零点可求,特别常见的是从含有ex与;nx的函数不等式中分离出ex或lnx;基本结论:若fmin(x)≥gmax(x),则f(x)≥g(x). 1.分离函数ex 子题类型Ⅰ:(2014年清华等五校联考(华约)自主招生试题)已知n∈N+,x≤n,求证:n-n(1-)nex≤x2. [解析]:令t=,则t≤1,n-n(1-)nex≤x21-(1-t)nent≤nt2(1-t)nent≥1-nt2;当t=1或1-nt2≤0时,不等式(1-t)n ent≥1-nt2,显然成立;当1-nt20时,不等式(1-t)nent≥1-nt2ent≥et≥;易证et≥t+1,而t+1≥ 1-t2≥(1-t2)n≥1-nt2(1-t2)n+nt2≥1;令1-t2=s∈(1-,1],则(1-t2)n+nt2≥1sn+n(1-s)≥1;令f(s)= sn+n(1-s),则(s)=nsn-1-n≤0f(s)在(1-,1]单调递减f(s)≥f(1)=1.从而得证. [点评]:对含ex的不等式,分离ex后,注意使用不等式ex≥x+1,或ex≥ex. 2.分离函数lnx 子题类型Ⅱ:(2011年课标高考试题)已知函数f(x)=+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0. (Ⅰ)求a,b的值; (Ⅱ)证明:当x0,且x≠1时,f(x). [解析]:(Ⅰ)由f(x)=+(x)=(-lnx)-;又由f(1)=1,(1)=-a=1,b=1; (Ⅱ)由f(x)=+f(x)…(*);①当0x1时,(*)2lnx-x+0;②当x1时,(*)2lnx-x+ 0;令g(x)=2lnx-x+,则(x)=-1-=-(-1)20g(x)在(0,1)和(1,+∞)上单调递减当0x1时,g(x) g(1)=0;当x1时,g(x)g(1)=0.证毕. [点评]:对含lnx的不等式,分离lnx后,其导函数不再是超越函数,因此,零点可求,从而,问题可解. 3.两边分离函数 子题类型Ⅲ:(2014年课标Ⅰ高考试题)设函数f(x)=aexlnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线为y=e(x-1) +2.(Ⅰ)求a,b; (Ⅱ)证明:f(x)1. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=aexlnx+(x)=aex(lnx+)+;又由f(1)=2,(1)=eb=2,a=1; (Ⅱ)因f(x)=exlnx+,所以,f(x)1exlnx+1xlnx+;令g(x)=xlnx+,h(x)=(x)=1+lnx gmin(x)=g()=,(x)=hmax(x)=h(1)=xlnx+. [点评]:两边分离函数是证明f(x)≥0的一个绝妙方法,其关键是使分离出的函数g(x)和h(x)的导函数零点可求. 4.子题系列: 1.(2010年全国Ⅱ高考试题)设函数f(x)=1-e-x.(Ⅰ)证明:当x-1时,f(x)≥; (Ⅱ)设当x≥0时,f(x)≤,求a的取值范围. 2.(2010年全国Ⅰ高考试题)已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1.(Ⅰ)若x(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围; (Ⅱ)证明:(x-1)f(x)≥0. 3.(2012年全国高中数学联赛河南初赛试题)已知函数f(x)=.(Ⅰ)当x0时,求证:f(x); (Ⅱ)当x-1,且x≠0时,不等式f(x)成立,求实数k的值. 5.子题详解: 1.解:(Ⅰ)当x≥-1时,f(x)≥ex≥x+1;(Ⅱ)①当a0时,若x-,则0,不合题意;②当a≥0时,f(x)≤axf(x)+f(x)-x≤0;令g(x)=axf(x)+f(x)-x,则(x)=af(x)+ax(x)+(x)-1((x)=1-f(x))=af(x)-(ax+ 1)f(x)+ax;(i)当0≤a≤时,由(Ⅰ)知,x≤(x+1)f(x)(x)≤(2a-1)f(x)≤0g(x)≤g(0)=0;(ii)当a时,由x≥f(x)(x)≥(2a-1-ax)f(x),若x∈(0,),则(x)0g(x)g(0)=0.综上,a∈[0,