高考数学母题：曲线系论构建整体处理的策略.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 649 [中国高考数学母题](第186号) 曲线系论.构建整体处理的策略 曲线系理论的基础:过曲线C1:f1(x,y)=0与C2:f2(x,y)=0的交点的曲线系G的方程为:f1(x,y)+λf2(x,y)=0(不包括曲线C2);利用曲线系解题可回避解方程组求交点等,可直接利用曲线系方程解决问题. [母题结构]:(Ⅰ)(圆系方程)若二次曲线G:ax2+cy2+dx+ey+f=0与直线mx+ny+p=0有两个不同的交点,则过这两点的圆系方程为:(ax2+cy2+dx+ey+f)+λ(mx+ny+p)(mx-ny+t)=0,其中,λ=,t为任意实数; (Ⅱ)(方程分解)若直线l1:m1x+n1y+p1=0,l2:m2x+n2y+p2=0分别与二次曲线T:ax2+cy2+dx+ey+f=0交于点A、B、C、D,则过点A、B、C、D的二次曲线系G:(ax2+cy2+dx+ey+f)+λ(m1x+n1y+p1)(m2x+n2y+p2)=0; (Ⅲ)(直线合成)若四边形ABCD的相对边或两条对角线的方程分别为:a1x+b1y+c1=0,a2x+b2y+c2=0,a3x+b3y+c3=0,a4x+b4y+c4= 0,则过四边形ABCD四个顶点A、B、C、D的二次线系G:(a1x+b1y+c1)(a3x+b3y+c3)+λ(a2x+b2y+c2)(a4x+b4y+c4)=0. [母题解析]:略. 1.圆系方程 子题类型Ⅰ:(2009年辽宁高考试题)已知椭圆C过点A(1,),两个焦点为(-1,0),(1,0).(Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)E,F是椭圆C上的两个动点,如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数,证明:直线EF的斜率为定值,并求出这个定值. [解析]:(Ⅰ)设椭圆C:+=1(ab0),由题知c=1,=a=4,b2=3椭圆C:+=1; (Ⅱ)由椭圆C在点A处的切线:x+2y-4=0,设直线EF:x+ty+m=0,则过A、E、F三点的曲线系:3x2+4y2-12+λ(x+2y-4)(x+ty+m) =0(3+λ)x2+λ(2+t)xy+(4+2tλ)y2+λ(m-4)x+λ(2m-4t)y-12-4λm=0,该曲线系为ΔAEF的外接圆λ(2+t)=0,且3 +λ=4+2tλt=-2,λ=直线EF:x-2y+m=0直线EF的斜率k=为定值. [点评]:二次曲线G上A、B、C、D四点共圆四边形ACD的两条对角线和两组对边的倾斜角分别互补,特别的,考虑四点共圆的极限情形有:设点A是圆锥曲线G上的定点但不是顶点,B、C是G上的两个动点,直线AB、AC的斜率互为相反数,则直线BC的斜率为曲线G过点A的切线斜率的相反数(定值). [同类试题]: 1.(2011年全国高考试题)已知O为坐标原点,F为椭圆C:x2+=1在y轴正半轴上的焦点,过F且 斜率为-的直线l与C交于A、B两点,点P满足++=0. (Ⅰ)证明:点P在C上; (Ⅱ)设点P关于点O的对称点为Q,证明:A、P、B、Q四点在同一圆上. 2.(2014年全国(大纲)高考试题)已知抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,直线y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且 |QF|=|PQ|.(Ⅰ)求C的方程; (Ⅱ)过F的直线l与C相交于A、B两点,若AB的垂直平分线与C相较于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求l的方程. 2.方程分解 子题类型Ⅱ:(2013年全国高中数学联赛四川预赛试题)已知点B(0,1).P、Q为椭圆+y2= 650 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 1上异于点B的任意两点,且BP⊥BQ.(Ⅰ)若点B在线段PQ上的射影为M,求M的轨迹方程; (Ⅱ)求线段PQ的中垂线l在x轴上的截距的取值范围. [解析]:(Ⅰ)设直线BP:kx-y+1=0,BQ:x+ky-k=0,则由椭圆和直线BP、BQ合成的二次曲线系G:x2+4y2-4+λ(kx-y+1)(x+ky- k)=0(1+λk)x2+λ(k2-1)xy+(4-λk)y2+λ(1-k2)x+2λky-4-λk=0,当二次曲线系G分解为直线PQ与椭圆在点B处的切线(y=1)的方程之积时(由(y-1)(ax+by+c)=0中不含x2项)1+λk=0曲线系G:-(k+1)xy+5y2+(1+k)x-2y-3=0-(k+1) x(y-1)+(y-1)(5y+3)=0(y-1)[-(k+1)x+5y+3]=0直线PQ:-(k+1)x+5y+3=0恒过定点N(0,-)M的轨迹是以BN为直径的圆(除去点B