高考数学母题：曲线系理论 .docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(15-23):曲线系理论(397) 1023 曲线系理论 [母题]Ⅰ(15-23):(《必修Ⅱ》(人教版)P144习题4.2.A组第10题)求经过点M(2,-2)以及圆x2+y2-6x=0与x2+y2=4交点的圆的方程. [解析]:设过圆x2+y2-6x=0与x2+y2=4交点的圆:x2+y2-6x+λ(x2+y2-4)=0,把点M(2,-2)代入得:λ=1x2+y2-3x-2=0 圆的方程:x2+y2-3x-2=0. [点评]:由数学的基础结论:点P(a,b)在曲线C上f(a,b)=0,可得过曲线C1:f(x,y)=0与C2:g(x,y)=0的交点的曲线为: f(x,y)+λg(x,y)=0(不包括曲线C2).这就是曲线系理论. [子题](1):(1977年北京高考试题)过直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点,且经过点(1,1)的直线方程是 . [解析]:设过直线x+y-7=0和3x-y-1=0的交点的直线方程是:(x+y-7)+λ(3x-y-1)=0,把点(1,1)代入得:λ=54x-y- 3=0所求直线方程是:4x-y-3=0. 注:由母题知,过直线l1:a1x+b1y+c1=0和直线l2:a2x+b2y+c2=0的交点的直线系方程是:(a1x+b1y+c1)+λ(a2x+b2y+c2)=0 (不包括直线l2);利用直线系求直线省去求交点的步骤,减少了计算量. [子题](2):(2010年课标高考试题)过点A(4,1)的圆C与直线x-y-1=0相切于点B(2,1).则圆C的方程为 . [解析]:设圆C:(x-2)2+(y-1)2+λ(x-y-1)=0,把点A(4,1)代入得:λ=-2圆C:(x-2)2+(y-1)2-(x-y-1)=0,即(x-3)2+y2 =2. 注:由母题知,过直线l:ax+by+c=0和圆C:x2+y2+dx+ey+f=0交点的圆系方程是:(x2+y2+dx+ey+f)+λ(ax+by+c)=0;本题中,把点B(2,1)视为点圆(x-2)2+(y-1)2=0,利用这一思想可得:与直线l:ax+by+c=0相切于点M(x0,y0)的圆系方程是:(x- x0)2+(y-y0)2+λ(ax+by+c)=0. [子题](3):(《必修Ⅱ》(人教版)P144习题4.2.A组第11题)求经过点M(3,-1),且与圆C:x2+y2+2x-6y+5=0相切于点N(1,2)的圆的方程. [解析]:设与圆C:x2+y2+2x-6y+5=0相切于点N(1,2)的圆G:(x-1)2+(y-2)2+λ(x2+y2+2x-6y+5)=0,把点M(3,-1)代入得:λ=-圆G:(x-1)2+(y-2)2-(x2+y2+2x-6y+5)=0,即x2+y2-x-y+5=0. 注:由母题知,过圆C1:x2+y2+d1x+e1y+f1=0和C2:x2+y2+d2x+e2y+f2=0交点的圆系方程是:(x2+y2+d1x+e1y+f1)+λ(x2+y2+d2x+ e2y+f2)=0(λ≠-1,不包括圆C2),本题仍然使用了点圆思想,一般地,与圆C:x2+y2+dx+ey+f=0相切于点M(x0,y0)的圆系方程是:(x-x0)2+(y-y0)2+λ(x2+y2+dx+ey+f)=0(λ≠-1,不包括圆C). [子题系列]: 1.(1977年天津高考试题)过直线3x-2y+1=0和=x+3y+4=0的交点,且与直线x+3y+4=0垂直的的直线方程是 . 2.(原创题)经过直线x+2y-5+=0与圆x2+y2-2x-4y=0的交点圆的面积的最小值为 . 3.(原创题)圆心在直线2x+y+1=0上的圆C与直线x-y-4=0相切于点A(2,-2),则圆C的方程为 . 4.(《必修Ⅱ》(人教版)P144习题4.2.A组第11题)求圆心在直线x-y-4=0上,并且经过圆x2+y2+6x-4=0与圆x2+y2+6y-28=0的交点圆的方程. 5.(2003年第十四届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)与圆x2+y2-4x-8y+15=0切于点A(3,6),且过点B(5,6)的圆的方程是 . 6.(2011年北大等十三校联