高考数学母题：活用定义巧转化解决抛物线的“焦点”问题.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 活用定义巧转化.解决抛物线的“焦点”问题 解决抛物线的“焦点”问题的方法 根据抛物线的定义,抛物线上任意一点P到抛物线的焦点的距离等于点P到抛物线准线的距离,因此我们即可以把抛物线上一点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,也可以把抛物线上一点到焦点的距离转化为该点到准线的距离;为此我们构造三个母题如下: [母题结构]:(Ⅰ)已知点P是抛物线C:y2=2px(p0,焦点为F)上的一动点,则:①当定点A在C的外部时,点P到A的距离与P到C的准线的距离d之和有最小值,当且仅当点P是直线AF与C的交点时,|PA|+d取得最小值;②当定点A在C的内部时,|PA|+|PF|有最小值,当且仅当点P是过A且平行于x轴的直线与C的交点时,|PA|+|PF|取得最小值;③当定直线l与C不相交时,点P到直线l的距离d1与P到C的准线的距离d2之和有最小值,当且仅当点P是过F且垂直于直线l的直线与C的交点时,d1+d2取得最小值; (Ⅱ)过抛物线G:y2=2px(p0)的焦点F,倾斜角为θ(斜率为k)的直线l与G交于A、B两点,与G的准线交于点P,①=λ==;②若=μ,则cosθ=,k2=;③若=t,则||=p;④若G的准线与x轴交于点H,且|AH|=m|AF|,则:1m≤,且A(p,p); (Ⅲ)设抛物线G:y2=2px(p0)的焦点为F,不经过焦点F的直线l与G交于A、B两点,与G的准线交于点P,与y轴交于点Q,则:①=;②=;③AB的中点E到G的准线距离d=(|AF|+|BF|). [母题解析]:(Ⅰ)如图,①由|PA|+d= |PA|+|PH|=|PA|+|PF|≥|AF|,当且仅 当点P是直线AF与C的交点时,等号 成立;②由|PA|+|PF|=|PA|+|PH|≥ |PM|,当且仅当点P是过A且平行于x 轴的直线与C的交点时,等号成立;③由d1+d2=|PM|+|PH|=|PM|+|PF|≥|PN|,当且仅当点P是过F且垂直于直线l的直线与C的交点时,等号成立; (Ⅱ)①由|AF|=,|BF|=知=λcosθ=||=p(|AF|= p)=;同理可证:=λ=;②由=μ=μ λ=2μ+1cosθ==k2=tan2θ=-1=()2-1=;③由=tt= λ=cosθ=||==p;④设|AF|=t,则|AD|=t,|AH|=mt|HD|=tyA=t xA=;由xA+=|AD|+=tt=p1m≤,且A(p,p); (Ⅲ)如图,①由==;②由====; ③由d=(|AD|+|BC|)=(|AF|+|BF|). 1.母题Ⅰ的子题 子题类型Ⅰ:(2009年四川高考试题)己知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( ) (A)2 (B)3 (C) (D) [分析]:因直线l2:x=-1恰是抛物线y2=4x的准线,所以,可把点P到直线l2的距离转化 为点P到抛物线y2=4x的焦点F(1,0)的距离求解. [解析]:如图,因直线l2:x=-1恰是抛物线y2=4x的准线,所以,动点P到直线l2的距离 等于点P到抛物线y2=4x的焦点F(1,0)的距离,因此,动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是焦点F(1,0)到直线l1:4x-3y+6=0的距离=2,故选(A). [点评]:母题Ⅰ体现了抛物线上一点到准线的距离与该点到焦点的距离之间的灵活转化,以及两点间的线段长最小、点到直线的距离最小思想;利用母题Ⅰ还可构造出绝妙试题. 2.母题Ⅱ的子题 子题类型Ⅱ:(2014年课标Ⅰ高考试题)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=( ) (A) (B) (C)3 (D)2 [分析]:过Q作QM⊥直线l于M,则|QF|=|QM|,问题转化为求|QM|,由相似三角形可求. [解析]:过Q作QM⊥直线l于M,由=4=;又==|QM|=p=3,由|QF|=|QM|=3.故选(C). [点评]:母题Ⅱ更充分的体现了抛物线上一点到准线的距离与该点到焦点的距离之间的灵活转化,到现在为止,高考对母题Ⅱ的开发不足,由母题Ⅱ可构造许多绝妙试题. 3.母题Ⅲ的子题 子题类型Ⅲ:(2015年浙江高考试题)如图,设抛物线y2=4x的焦点为F,不经过焦点的直线上有三个不同的点A,B,C,其中点A,B在抛物线上,点C在y轴上,则△BCF与△ACF的面积之比是( ) (