高考数学母题：活用数学归纳法巧妙解答高考题 .docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 活用数学归纳法.巧妙解答高考题 数学归纳法的应用类型 基于考查数学归纳法的试题大多数是压轴题,可见数学归纳法在高考中的重要地位;这些试题可分为三类:明确要求用数学归纳法证明的试题、归纳→猜想→用数学归纳法证明型试题和灵活运用数学归纳法证明的试题. [母题结构]:可运用数学归纳法证明的试题类型. [母题解析]:可运用数学归纳法证明的试题类型:①根据待证目标的特性可为:等式、不等式型等;②根据待证目标中n的含义可为:关于n的代数式、以n为下标的多元代数式等;③根据约束条件可为:等式、不等式型、计数、生成条件等. 1.证明恒等式 子题类型Ⅰ:(2014年江苏高考试题)已知函数f0(x)=(x0),设fn(x)为fn-1(x)的导数,n∈N*. (Ⅰ)求2f1()+f2()的值; (Ⅱ)证明:对任意的n∈N*,等式|nfn-1()+fn()|=都成立. [解析]:(Ⅰ)由f0(x)=f1(x)=-f2(x)=--+2f1()+f2()=-1; (Ⅱ)由xf0(x)=sinx,两边求导得:f0(x)+x0(x)=cosxf0(x)+xf1(x)=sin(x+)2f1(x)+xf2(x)=sin(x+π)3f2(x) +xf3(x)=sin(x+),猜想:nfn-1(x)+xfn(x)=sin(x+);下面用数学归纳法证明:①当n=1时,等式成立;②假设当n=k时等式成立,即kfk-1(x)+xfk(x)=sin(x+),两边求导得:kk-1(x)+fk(x)+xk(x)=cos(x+)(k+1)fk(x)+xfk+1(x)=sin [x+],即当n=k+1时,等式也成立.由①②得:nfn-1(x)+xfn(x)=sin(x+)对所有的n∈N*都成立;令x=得:|nfn-1 ()+fn()|=|sin(+)|=. [点评]:本题先归纳猜想一个一般恒等式,再用数学归纳法证明,最后通过赋值得证,体现了不完全归纳法与数学归纳法的完美结合;本题以导数为背景,构造恒等式,体现了用数学归纳法证明恒等式的又一范围. 2.证明不等式 子题类型Ⅱ:(2014年安徽高考试题)设实数c0,整数p1,n∈N*.(Ⅰ)证明:当x-1且x≠0时,(1+x)p1+px; (Ⅱ)数列{an}满足a1,an+1=an+an1-p.证明:anan+1. [解析]:(Ⅰ)用数学归纳法证明:①当p=2时,(1+x)2=1+2x+x21+2x,不等式成立;②假设p=k(k≥2,k∈N*)时,不等式(1+ x)k1+kx成立,则(1+x)k+1=(1+x)(1+x)k(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x,即当p=k+1时,不等式也成立.由①②得:当x-1,x≠0时,对一切整数p1,不等式(1+x)p1+px均成立; (Ⅱ)先用数学归纳法证明:an:①当n=1时,不等式成立;②假设n=k(k≥1,k∈N*)时,不等式ak成立,则由ak+1= ak+ak1-p=+ak-p=1+(-1)()p=[1+(-1)]p1+(-1)=ak+1pcak+1,即当p=k +1时,不等式也成立.由①②得:对一切整数n,an:由an+1=an+an1-p=1+(-1)1anan+1. [点评]:本题是用数学归纳法证明不等式试题的典型:在第(Ⅰ)问中给出用数学归纳法证明第(Ⅱ)问所需的过渡不等式;因此,解决此类试题的关键是着意运用第(Ⅰ)问中给出的不等式,或从第(Ⅰ)问中挖掘所需的过渡不等式. 3.问题背景 子题类型Ⅲ:(2014年江西高考试题)随机将1,2,…,2n(n∈N*,n≥2)这2n个连续正整数分成A,B两组,每组n个数,A组最小数为a1,最大数为a2; B组最小数为b1,最大数为b2,记ξ=a2-a1,η=b2-b1. (Ⅰ)当n=3时,求ξ的分布列和数学期望; (Ⅱ)令C表示事件ξ与η的取值恰好相等,求事件C发生的概率P(C); (Ⅲ)对(Ⅱ)中的事件C,表示C的对立事件,判断P(C)和P()的大小关系,并说明理由. [解析]:(Ⅰ)当n=3时,ξ所有可能的取值是:2,3,4,5;将6个正整数平均分成A,B两组, 不同的分组方法数共有C63=20ξ的分布列为,Eξ=; (Ⅱ)事件ξ与η的取值恰好相等的所有可能的取值是:n-1,n,n+1,…,2n-2;又当ξ=η=n-1时,不同的分组方法数=2;当ξ=η=n时,不同的分组方法数=2;当ξ=η=n+k(k=1,2,…,n-2)时,不同的分组方法数=2C2kk当n=2时,P(C)==;当n≥3时,P(C)=; (Ⅲ)当n=2时,P(C)=P(C)P();当n≥3时,P(C)