高考数学母题：染色模型.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(21-14):染色模型(608) 1525 染色模型 [母题]Ⅰ(21-14):(2003年课程高考试题引伸)将3种作物种植在如图的5块试验 田里,每块种植一种作物,则相邻的试验田不能种植同一作物的概率是 . [解析]:本题的要求是“将3种作物种植,即3种作物全部种上”随机种植有:35-C3225+2=149;相邻的试验田不能种植同一作物是染色母题模型Ⅰ②当m=3,n=5时的情况B(5,3)=3(24-C21×14)=42P=. [点评]:染色问题是组合数学的重要内容之一,以染色问题为背景的古典概型称为染色模型;染色模型常见的问题是:①在任意染色条件下,满足条件的概率问题;②在某限制下的染色,满足条件的概率问题;关于染色模型的计数方法,请见母题(546). [子题](1):(2008年南京大学自主招生试题)用红、黄、蓝三种颜色给正五边形顶点着色,则没有相邻两个顶点有相同颜色的概率为 . [解析]:由相邻两点不同色的着色方法=a(5,2+1)=25+2(-1)5=30P==. 注:本题是染色母题模型Ⅱ的直接应用,掌握染色模型的计数方法是解决关于染色概率问题的关键. [子题](2):(2014年全国高中数学联赛广西初赛试题)用红黄蓝三种颜色给如右图所示 的六连圆涂色,则每种颜色只能涂两个圆,且相邻两个圆所涂颜色不能相同的概率为 . [解析]:从左到右将六个圆编号为1,2,3,4,5,6满足条件的只有(13,25,46)、(14,25,36)、(14,26,35)、(15,24,36)、(16,24,35)等组合按要求用三种颜色给如图所示的六连圆涂色有5A33=30P==. 注:本题是在每种颜色只能涂两个圆的条件下的染色概率问题,利用枚举计数法是解决问题的关键. [子题](3):(2012年全国高中数学联赛广西初赛试题)如图,用红、篮、黄三色将图中区域A、B、C、 D染色,要求有公共边界的相邻区域不能染相同的颜色,则满足区域A恰好染篮色的概率是 . [解析]:先给A,B,C染色,有A33种,再给D染色,有2种(A与B中的一个同色),计有A33×2=12种;当A染 篮色时,先给B,C染色,有A22种,再给D染色,有2种(A与B中的一个同色),计有A22×2=4种P==. 注:本题是在某限制条件:“有公共边界的相邻区域不能染相同的颜色”下的染色,求满足条件“区域A恰好染篮色”的概率问题,对该种类型的问题值得引起重视. [子题系列]: 1.(2012年全国高中数学联赛湖南初赛试题)用红、黄、蓝三种颜色给正五边形的顶点着色,则没有相邻两个顶点颜色相同的概率为 . 2.(2007年天津高考试题引伸)(文)如图,用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色,每个 格涂一种颜色,则相邻的两个格子不同色,且两端的格子的颜色的概率为 . 3.(2008年全国Ⅰ高考试题引伸)如图,一环形花坛分别A、B、C、D四块.现有4种不同的花供选种, 要求在每块里种1种花,则相邻两块种不同花的概率为 . 4.(2013年全国高中数学联赛(B)试题)将正九边形的每个顶点等概率地涂上红、蓝两种颜色之一,则 存在三个同色的顶点构成锐角三角形的概率为 . 5.(2010年全国高中数学联赛甘肃初赛试题)用3种颜色给立方体的8个顶点染色,其中至少有一种颜色恰好染4个顶点. 1526 [母题]Ⅰ(21-14):染色模型(608) 则任一棱的两个端点都不同色的概率是 . 6.(2001年美国数学邀请赛(AIME)试题)将3×3方格表中每一个随机地染成蓝色或红色,染成蓝色或红色的机会均等,3×3方格表中没有2×2红色正方形的概率为((m,n)=1),求m+n. [子题详解]: 1.解:由相邻两点不同色的着色方法=a(5,2+1)=25+2(-1)5=30P==. 2.解:本题等价于用6种不同的颜色给图中的环形4个格子涂色,是染色母题模型Ⅱ:当m+1=6,n=4时 的情况a(n,m+1)=mn+(-1)nm=54+5(-1)4=6