高考数学母题：曲线直径有心圆锥曲线的共性.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 613 [中国高考数学母题](第177号) 曲线直径.有心圆锥曲线的共性 类似圆的直径,定义过有心圆锥曲线中心的弦叫直径,有趣的是有心圆锥曲线的直径具有圆的直径:“若点P、A、B在圆G上,则AB是圆G的直径kKAkPB=-1”的类似性质,由此可揭示有心圆锥曲线的一个共性. [母题结构]:(Ⅰ)(直径性质)①若点P、A、B在椭圆G:+=1(ab0)上,则AB是椭圆G的直径kPAkPB=-;②若点P、A、B在双曲线G:-=1(a0,b0)上,则AB是双曲线G的直径kPAkPB=; [母题解析]:设点P(x0,y0)、A(x1,y1)、B(x2,y2)在曲线G:mx2+ny2=1上,PA的中点为T,则mx02+ny02=1,mx12+ny12=1,两式相减得:m(x02-x12)+n(y02-y12)=0=-kPAkOT=-;所以,kPAkPB=-kPB=kOTO是AB的中点AB是曲线G的直径. 1.曲线方程 子题类型Ⅰ:(2011年湖北高考试题)平面内与两定点A1(-a,0)、A2(a,0)(a0)连线的斜率之积等于非零常数的m的点的轨迹,加上A1、A2两点所成的曲线C可以是圆、椭圆、或双曲线.(Ⅰ)求曲线C的方程,并讨论C的形状与m值的关系; (Ⅱ)当m=-1时,对应的曲线为C1;对给定的m∈(-1,0)∪(0,+∞),对应的曲线为C2,设F1、F2是C2的两个焦点.试问:在C1上是否存在点N,使得ΔF1NF2的面积S=|m|a2？若存在,求tan∠F1NF2的值;若不存在,请说明理由. [解析]:(Ⅰ)设动点P(x,y),由kk=m=m-=1曲线C:-=1;①当m-1时,曲线C是焦点在y轴上的椭圆;②当m=-1时,曲线C是圆心在原点的圆;③当-1m0时,曲线C是焦点在x轴上的椭圆;④当m0时,曲线C是焦点在x轴上的双曲线; (Ⅱ)设C1上的点N(acosθ,asinθ),当m∈(-1,0)∪(0,+∞)时,C2的两个焦点分别为F1(-a,0)、F2(a,0) |F1F2|=2aS=aa|sinθ|=|m|a2|sinθ|=;㈠当≤1,即m∈(,0)∪(0,)时,存在点N,使得ΔF1NF2的面积S=|m|a2;此时,S=tan∠F1NF2=-ma2tan∠F1NF2-ma2tan∠F1NF2=|m|a2 tan∠F1NF2=-;①当m∈(,0)时,tan∠F1NF2=2;②当m∈(0,)时,tan∠F1NF2=-2;㈡当1,即m∈(-1,)∪(,+∞)时,不存在点N,使得ΔF1NF2的面积S=|m|a2. [点评]:已知一动点与两定点连线的斜率之积,求动点的轨迹方程或离心率,是圆锥曲线直径性质的直接应用, [同类试题]: 1.(2010年北京高考试题)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程; (Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N,问:是否存在点P,使得ΔPAB与ΔPMN的面积相等？若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由. 2.(2012年四川高考试题)如图,动点M与两定点A(-1,0)、B(1,0)构成ΔMAB,且直线MA、MB的斜率 之积为4,设动点M的轨迹为C.(Ⅰ)求轨迹C的方程; (Ⅱ)设直线y=x+m(m0)与y轴交于点P,与轨迹C相交于点Q、R,且|PQ||PR|,求的取值范围. 614 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 2.曲线共性 子题类型Ⅱ:(2010年广东高考试题)已知双曲线-y2=1的左、右顶点分 别为A1,A2,点P(x1,y1),Q(x1,-y1)是双曲线上不同的两个动点.(Ⅰ)求直线A1P与 A2Q交点的轨迹E的方程式; (Ⅱ)若过点H(0,h)(h1)的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点,且l1⊥l2,求h的值. [解析]:(Ⅰ)设直线A1P与A2Q交点T(x,y),由A1(-,0),A2(,0)k=k=,k=k=k k==-(-y12=1)=-=-+y2=1; (Ⅱ)设直线l:y=kx+h与轨迹E:+y2=1只有一个交点(2k2+1)x2+4khx+2h2-2=0有等根(4kh)2-4(2k2+1)(2h2-2)=0 2k2-h2+1=0;由l1⊥l2k1k2=-1-=-1h=. [点评]:易得对偶圆锥曲线:①若椭圆+=1(ab0)的弦PQ与长轴A1A2垂直,设直线A1P与直线A2Q的交点为M,则M点的轨迹为双曲线-=1(ab0);②若双曲线-=1(a