高考数学母题：活用椭圆参数方程妙解高考试题.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 活用椭圆参数方程.妙解高考试题 椭圆的参数方程及应用 椭圆的参数方程是选修4-4的内容,要求较低,但其中体现的参数思想,常渗透到解析几何问题的解题过程中,合理使用参数方程,可有效简化运算,妙解高考试题. [母题结构]:如图,过椭圆C=1(ab0)上任意一点M,作MN⊥x轴与N,交圆:x2+y2=a2 于点A,作MB⊥AN交圆:x2+y2=b2于点B,∠AOx=θ,则xM=acosθ,yM=bsinθ,即得:椭圆C的参 数方程:(参数θ∈[0,2π)称为离心角). [母题解析]:椭圆参数方程的重要作用是把椭圆上任意一点P用只含一个参数离心角表示,得点的参数坐标;当参数变化时,参数可以刻画曲线的变化过程;当参数暂时视为常量时,参数可以表示曲线上的任意一点,以静制动,揭示、简化问题中变量之间的内在联系,把握变化的规律,优化解题程序. 1.函数g(x)不含参数 子题类型Ⅰ:(2005年全国I高考试题)己知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点,+与a=(3,-1)共线. (Ⅰ)求椭圆的离心率; (Ⅱ)设M为椭圆上任意一点,且=λ+μ(λ,μ∈R),证明:λ2+μ2为定值. [解析]:(Ⅰ)设椭圆方程为+=1(ab0),A(x1,y1),B(x2,y2),直线的方程为:y=x-c+=(x1+x2,y1+y2),由+与=(3,-1)共线(x1+x2)+3(y1+y2)=0x1+x2=c;又由(a2+b2)x2-2a2cx+a2(c2-b2)=0 x1+x2==ca2=3b2e=; (Ⅱ)由(Ⅰ)知椭圆:x2+3y2=3b2,且x1x2=b2kOAkOB=====-;设A(bcosα, bsinα),B(bcosβ,bsinβ)(0≤βαπ),由kOAkOB=-=-tanαtanβ=-1cos(α-β) =0α-β=;设M(x,y),则由=λ+μx=bλcosα+bμcosβ=-bλsinβ+bμcosβ,y=bλsinα+bμsinβ=bλcosβ+bμsinβ;又由x2+3y2=3b2(-bλsinβ+bμcosβ)2+3(bλcosβ+bμsinβ)2=3b2λ2+μ2=1为定值. [点评]:利用本题的方法可证推广结论:已知椭圆C:=1(ab0)上的点A、B满足:kOAkOB=-.椭圆C上的动点P满足:=λ+μ,则λ2+μ2=1. 2.函数g(x)含参数 子题类型Ⅱ:(2011年全国高中数学联赛A卷试题)作斜率为的直线 l与椭 圆C:=1交于 A,B两点(如图所示),且P(3,)在直线 l的左上方. (Ⅰ)证明:△PAB的内切圆的圆心在一条定直线上; (Ⅱ)若∠APB=600,求△PAB的面积. [解析]:(Ⅰ)设A(6cosα,2sinα),B(6cosβ,2sinβ),α,β∈(0,2π),αβ;由kAB==sinα- sinβ=cosα-cosβsinα-cosα=sinβ-cosβsin2α=sin2βα+β=sin(α+β)=-1,sinβ=-cosα,cosβ=-sinαkPA+kPB=+==0△PAB的内切圆的圆心在定直线x=3上; (Ⅱ)∠APB=600kPA==2sinα-=6cosα-3sinα+cosα=;=(6cosα- 3,2sinα-),=(6cosβ-3,2sinβ-)△PAB的面积=|(6cosα-3)(2sinβ-)-(6cosβ-3) (2sinα-)|=3|sinα+cosα-sinβ-cosβ)|=6|sinα+cosα|=. [点评]:本题第(Ⅰ)问可推广为:已知点M(x0,y0)是椭圆C:+=1(ab0)上的定点,直线l的斜率与椭圆C在M处的切线斜率互为相反数,且直线l与椭圆C交于A、B两点,则:①kMA+kMB=0;②△MAB的内心在定直线x=x0上;③△MAB的垂心在定直线y-y0=-(x-x0)上;④△MAB的重心在定直线+=上;⑤△MAB的外心在定直线y-y0(x-x0)上. 3.直线方程 子题类型Ⅲ:(2009年江西高考试题)如图,己知圆G:(x-2)2+y2=r2是椭圆+y2=1的 内接△ABC的内切圆,其中A为椭圆的左顶点.(Ⅰ)求圆G的半径r; (Ⅱ)过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于两点E、F,证明:直线EF与圆G相切. [解析]:(Ⅰ)由A(-4,0),设B(2+r,y0),则+y02=1y02=-,直线AB:y0x-(r+6)y+4y0=0 =r36y02=r2[y02+(r+6)2]-(r-2)(r+6)=r2[-+(r+6)2]r=; (Ⅱ)由M(4cos,s