高考数学母题：求和求积不等式之逐项比较.docVIP

2017年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 469 [中国高考数学母题](第145号) 求和求积不等式之逐项比较 证明不等式g(n)≤Sn≤f(n)(其中,Sn是数列{an}的前n项和或前n项积,f(n),g(n)都是关于n的非常数函数),可统一使用逐项比较法解决. [母题结构]:(Ⅰ)(和不等式)己知Sn是数列{an}的前n项和,f(n),g(n)都是关于n的非常数函数,证明:g(n)≤Sn≤f(n);构造数列{xn}:x1=f(1),当n≥2时,xn=f(n)-f(n-1);{yn}:y1=g(1),当n≥2时,yn=g(n)-g(n-1);则yn≤an≤xng(n)≤Sn≤f(n),即要证g(n)≤Sn≤f(n),只须证:yn≤an≤xn; (Ⅱ)(积不等式)己知Tn是正项数列{an}的前n项积,f(n),g(n)都是关于n的非常数函数,证明:g(n)≤Sn≤f(n);构造数列{xn}:x1=f(1),当n≥2时,xn=,{yn}:y1=g(1),当n≥2时,yn=;则yn≤an≤xng(n)≤Sn≤f(n),即要证g(n)≤Sn≤f(n),只须证:yn≤an≤xn. [母题解析]:略. 1.和不等式 子题类型Ⅰ:(2016年四川高考试题)已知数列{an}的首项为1,Sn为数列{an}的前n项和,Sn+1=qSn+1,其中q0,n∈N+. (Ⅰ)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设双曲线x2-=1的离心率为en,且e2=,证明:e1+e2+…+en. [解析]:由Sn+1=qSn+1a2=qa1,且an+2=Sn+2-Sn+1=(qSn+1+1)-(qSn+1)=qan+1数列{an}是以首项a1=1,公比为q的等比数列; (Ⅰ)由2a2+(a2+2)=2a32a3=3a2+22q2=3q+2q=2an=2n-1; (Ⅱ)由en2=1+an2,e2=q=en=;令数列{xn}的前n项和=,则xn=()n-1,由enxn ()n-11+()2n()2n成立e1+e2+…+enx1+x2+…+xn. [点评]:己知Sn、Tn分别是数列{an}、{bn}的前n项和,若anbn,则SnTn.这是构造数列,证明和型数列不等式的基础. [同类试题]: 1.(1985年全国高考试题)设an=++…+(n=1,2,…).证明:an. 2.(2007年重庆高考试题)已知各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足:S11且6Sn=(an+1)(an+2)(n≥1). (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)设数列{bn}满足:an(2-1)=1.并记Tn为{bn}的前n项和.求证:3Tn+1log2(an+3). 2.积不等式 子题类型Ⅱ:(1985年广东高考试题)设n≥2,n∈N*,证明:(1+)(1+)…(1+). [解析]:因(1+)(1+)…(1+)(1+)(1+)(1+)…(1+);令an=1+,数列{bn}的前n项积=,则bn=;anbn2n成立(1+)(1+)(1+)…(1+)=a1a2…anb1b2…bn=. [点评]:己知Sn、Tn分别是正项数列{an}、{bn}的前n项积,若anbn,则SnTn.这是构造数列,证明积型数列不等式的基础. [同类试题]: 3.(1998年全国高考理科试题)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145. 470 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 (Ⅰ)求数列{bn}的通项bn; (Ⅱ)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a0,且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论. 4.(2009年山东高考试题)等比数列{an}的前n项和为Sn,己知对任意的n∈N*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0,且b≠1,b,r均为常数)的图象上.(Ⅰ)求r的值; (Ⅱ)当b=2时,记bn=2(log2an+1)(n∈N+),证明:对任意的n∈N+,不等式成立. 3.导数证明 子题类型Ⅲ:(2015年广东高考试题)数列{an}满足:a1+2a2+…+nan=4-,n∈N+. (Ⅰ)求a3的值; (Ⅱ)求数列{an}的前n项和Tn; (Ⅲ)令b1=a1,bn=+(1+++…+)an(n≥2),证明:数列{bn}的前n项和Sn满足Sn2+2lnn. [解析]:(Ⅰ)由a1+2a2+…+nan=4-nan=(4-)-(4-)=an=a3=;(Ⅱ)Tn=2-; (Ⅲ)由bn=(a1+a2+…