高考数学母题：求一类函数方程中函数的解析式.docVIP

[高考数学母题一千题](第0001号) 求一类函数方程中函数的解析式 解函数方程之母题 含有未知函数的等式称为函数方程,函数方程的中心问题是求函数的解析式,利用下面的母题可以解决或构造一类求函数方程中函数的解析式试题. [母题结构]:(Ⅰ)己知函数f(x)满足af(x)+bf(g(x)=h(x),其中,a,b为常数,g(x),h(x)为给定的函数,且|a|≠|b|,g(g(x))=x,求f(x); (Ⅱ)己知函数f(x)满足af(x)+bf(g(x)=h(x),其中,a,b为常数,g(x),h(x)为给定的函数,且a+b≠0,g(g(g(x)))=x,求f(x). [解题程序]:(Ⅰ)由af(x)+bf(g(x))=h(x)…①af(g(x))+bf(g(g(x)))=h(g(x))af(g(x))+bf(x)=h(g(x))…②;由①×a-②×b得:f(x)=; (Ⅱ)由af(x)+bf(g(x))=h(x)…①af(g(x))+bf(g(g(x)))=h(g(x))…②af(g(g(x)))+bf(g(g(g(x))))=h(g(g(x))) af(g(g(x)))+bf(x)=h(g(g(x)))…③;由①×a2+②×b2得:a3f(x)+ab[af(g(x))+bf(g(g(x)))+b3f(x)=a2h(x)+b2× h(g(g(x)))(a3+b3)f(x)+abh(g(x))=a2h(x)+b2h(g(g(x)))f(x)=. 在函数方程af(x)+bf(g(x))=h(x)中,函数g(x)起到关键作用,我们把满足g(g(x))=x的函数称为一阶迭代函数,把满足g(g(g(x)))=x的函数称为二阶迭代函数. 1.一阶线性迭代函数 子题类型Ⅰ:(2009年安徽高考试题)己知函数f(x)在R上满足:f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是( ) (A)y=2x-1 (B)y=x (C)y=3x-2 (D)y=-2x+3 [分析]:令g(x)=2-x,则g(g(x))=2-g(x)=2-(2-x)=x,由此可用母题(Ⅰ)的解题程序求解. [解析]:由f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8f(t)=2[2f(t)-t2-4t+4]-t2+8t-8f(t)=t2,即f(x)=x2,所以曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1,故选(A). [点评]:对于一阶线性迭代函数有下列结论:①当g(x)=-x+a时,g(g(x))=x;②当g(x)=ax2+bx+c(a≠0),则g(--x)= g(x),由此可解形如mf(ax2+b1x+c1)+nf(ax2+b2x+c2)=Ax2+Bx+C的问题:只须把x替换为--x即可. 2.一阶分式迭代函数 子题类型Ⅱ:(2005年复旦大学保送生考试试题)定义在R上的函数f(x)(x≠1)满足f(x)+2f()=4015-x,则f(2004)= . [分析]:令g(x)=,则g(g(x))==x,由此可用母题(Ⅰ)的解题程序求解. [解析]:令x=t得:f(t)+2f()=4015-t…①;令=t,即x=得:f()+2f(t)=4015-…②.由①②解得:f(t)=(4013+t+)f(2004)=2005. [点评]:对于一阶分式迭代函数有下列结论:当g(x)=时,g(g(x))=x;特别地,当g(x)=时,g(g(x))=x. 3.二阶分式迭代函数 子题类型Ⅲ:(2004年江西省高中女子数学竞赛试题)若f()=f(x)+2,则f(3)= . [分析]:令g(x)=,则g(g(x))=g(g(g(x)))=x,由此可用母题(Ⅱ)的解题程序求解. [解析]:在f()=f(x)+2中,令x=t得:f()=f(t)+2;令x=得:f(-)=(1-t)f()+2f()= [f(-)-2];令x=-得:f(t)=-f(-)+2f(-)=(-)[f(t)-2]f()=[f(-)-2] ={(-)[f(t)-2]-2}=-f(t)+2-f(t)+ 2=f(t)+2f(t)=1-t-f(3)=-. [点评]:对于二阶分式迭代函数有下列结论:当g(x)=,且a2+bc+ad+d2=0时,g(g(g(x)))=x;特别地,当g(x)=或g(x)=时,g(g(g(x)))=x. 4.子题系列: 1.(1999年福建省高一数学夏令营选拔试题)关于x的函数f(x)满足mf(2x-3)+nf(3-2x)=2x(0mn),当x∈[-1,1]时, f(