高考数学母题：球的度量表面积和体积公式.docVIP

2018年课标高考母题 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 541 [中国高考数学母题](第147号) 球的度量.表面积和体积公式 球是立体几何中较为独特的几何体,对于球的认识与理解,最好的方式是与圆进行类比;球的表面积和体积公式是球的基本公式,在现行中学数学中,对球的表面积和体积公式,不要求证明,但要求记忆,并能灵活运用. [母题结构]:半径为R的球:表面积S(R)=4πR2;体积V(R)=πR3,且(R)=S(R). [母题解析]:略. 1.基本量思想 子题类型Ⅰ:(2002年北京高考试题)有64个直径都为(a0)的球,记它们的体积之和为V甲,表面积之和为S甲;一个直经为a的球,记其体积为V乙,表面积为S乙,则( ) (A)V甲V乙,且S甲S乙 (B)V甲V乙,且S甲S乙 (C)V甲=V乙,且S甲S乙 (D)V甲=V乙,且S甲=S乙 [解析]:由V甲=64×π()3=πa3,S甲=64×4π()2=4πa2;V乙=π()3=πa3,S乙=4π()2=πa2.故选(C). [点评]:在球的基本公式中有三个变量,即半径R、表面积S、体积V,其中半径R是基本量;求球的表面积S、体积V,关键是求半径R,或用基本量R表示. [同类试题]: 1.(2008年天津高考试题)若一个球的体积为4π,则它的表面积为 . 2.(2009年上海高考试题)己知三个球的半径R1、R2、R3满足R1+2R2=3R3,则它们的表面积S1、S2、S3满足的等量关系是 . 2.球的特殊性 子题类型Ⅱ:(2009年湖北高考试题)设球的半径为时间t的函数R(t).若球的体积以均匀速度c增长,则球的表面积的增长速度与球半径( ) (A)成正比,比例系数为C (B)成正比,比例系数为2C (C)成反比,比例系数为C (D)成反比,比例系数为2C [解析]:由V(t)=πR3(t)(t)=4πR2(t)(t)=S(t)(t),其中S(t)=球的表面积;由球的体积以均匀速度c增长(t)=cS(t)(t)=c;又由S(t)=4πR2(t)4πR2(t)(t)=c,(t)=8πR(t)(t)(t)R(t)=2c.故选(D). [点评]:任意两球都相似,两球表面积的比等于对应半径比的平方,两球体积的比等于对应半径比的立方;球的表面积S(R)、体积V(R)均是半径R的函数,(R)=S(R);当R为变量t的函数R(t)时,(t)= S(t)(t). [同类试题]: 3.(2013年上海春招试题)若两个球的表面积之比为1:4,则这两个球的体积之比为( ) (A)1:2 (B)1:4 (C)1:8 (D)1:16 4.(2006年湖北高考试题)半径为r的圆的面积S(r)=πr2,周长C(r)=2πr,若将r看作(0,+∞)上的变量,则=2πr…①.①式可用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长的函数.对于半径为R的球,若将R看作(0,+∞)上的变量,请你写出类似①的式子: …②,②式可用语言叙述为: . 3.球的连接性 子题类型Ⅲ:(2017年江苏高考试题)如图,在圆柱O1O2内有一个球O,该球与圆柱的上,下底 面及母线均相切.记圆柱O1O2的体积为V1,球O的体积为V2,则的值是 . [解析]:设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2RV1=2πR3,V2=πR3=. 542 备战高考数学的一条捷径.预测高考试题的有效手段 2017年课标高考母题 [点评]:通过 [同类试题]: 5.(2009年江西高考试题)体积为8的一个正方体,其全面积与球O的表面积相等,则球O的体积等于 . 6.(2016年全国Ⅲ高考试题)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( ) (A)4π (B) (C)6π (D) 4.子题系列: 7.(2003年北京高考试题)已知某球的体积与其表面积的数值相等,则此球体的半径为 . 8.(2006年湖北高考试题)木星的体积约是地球体积的240倍,则它的表面积约