高考数学母题：求和最值.docVIP

高考数学母题规划,助你考入清华北大！王老师(电话:XXXXX)数学丛书,给您一个智慧的人生！ 高考数学母题 [母题]Ⅰ(10-08):求和最值(201) 555 求和最值 [母题]Ⅰ(10-08):(2009年安徽高考试题)己知{an}为等差数列,a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99.以Sn表示{an}的前n项和,则使得Sn达到最大值的n是( ) (A)21 (B)20 (C)19 (D)18 [解析]:由a1+a3+a5=1053a3=105a3=35;a2+a4+a6=993a4=99a4=33d=a4-a3=-2a1=39; (法一)由Sn=-n2+40n=-(n-20)2+400,所以当n=20时,Sn取得最大值400.故选(B). (法二)由an=a3+(n-3)d=41-2n,令n≤n=20,所以当n=20时,Sn取得最大值.故选(B). [点评]:对等差数列{an}的前n项和Sn.则求{Sn}中最值有两种方法:一是分析关于n的二次函数Sn=An2+Bn,或代数分析或图像分析,求最值;二是利用等价定理:Sn最大an≥0,且an+10;Sn最小an≤0,且an+10. [子题](1):(2012年浙江高考试题)设Sn是公差为d(d≠0)的无穷等差数列{an}的前n项和,则下列命题错误的是( ) (A)若d0,则数列{Sn}有最大项 (B)若数列{Sn}有最大项,则d0 (C)若数列{Sn}是递增数列,则对任意的n∈N+,均有Sn0 (D)若对任意的n∈N+,均有Sn0,则数列{Sn}是递增数列 [解析]:选项(C)显然是错的,举出反例:-3,-2,-1,0,1,2,3,…满足数列{Sn}是递增数列,但是Sn0不恒成立.故选(C). 注:由本题可得:数列{Sn}有最大项等差数列{an}的公差d0;数列{Sn}有最小项等差数列{an}的公差d0. [子题](2):(2002年上海春招试题)设{an}(n∈N+)是等差数列,Sn是其前n项和,且S5S6,S6=S7S8,则下列结论错误的是( ) (A)d0 (B)a7=0 (C)S9S5 (D)S6与S7均Sn为的最大值 [解析]:由题知,可得Sn对应的二次函数的图像如图: 由S6=S7知,二次函数图像的对称轴x=6.5S9=S4S5.故选(C). 注:充分利用等差数列{an}前n项和Sn=An2+Bn对应的二次函数f(x)=Ax2+Bx的图像性质是巧解该类问题的有力方法. [子题](3):(2014年江西高考试题)在等差数列{an}中,a1=7,公差为d,前n项和为Sn,当且仅当n=8时Sn取最大值,则d的取值范围为 . [解析]:当且仅当n=8时Sn取最大值a80,a907+7d0,7+8d0d∈(-1,-).故d的取值范围为(-1,-). 注:对已知Sn在n=m时取最大值问题有两种类型:①Sn在n=m时取最大值am≥0,且am+1≤0;②Sn当且仅当n=m时取最大值am0,且am+10. [子题系列]: 1.(2010年第二十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)己知{an}是等差数列,a1+a3+a5=63,a2+a4+a6=48.以Sn表示{an}的前n项和,则当Sn取最大值时,n的值是( ) (A)6 (B)7 (C)8 (D)10 2.(1995年全国高中数学联赛试题)设等差数列{an}满足3a8=5a13,且a10,Sn为其前n项之和,则Sn(n∈N+)中最大的是( ) (A)S10 (B)S11 (C)S20 (D)S21 3.(1999年上海高考试题)在等差数列{an}中,满足3a4=7a7,且a10,Sn是数列{an}的前n项和,若Sn取得最大值,则n= . 4.(2004年全国高中数学联赛福建预赛试题)在等差数列{an}中,己知13a2=15a3,且a10,Sn为