2016数学（高教版）授课教案：数乘向量.docVIP

数学（高教版）授课教案 授课日期 4月 2 日 4 月 2 日 授课班级 人文513-13 人文513-14 学期授课计划 的章节顺序： 6.3 数乘向量 授 课 目 的 与 要 求： 1.掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义； 2.掌握实数与向量的积的运算律； 3.理解两个向量共线的充要条件，能够运用共线条件判定两向量是否平行 教学方法：讲练结合 授课主要教具： 新课重点与难点： 重点：掌握实数与向量的积的定义、运算律、理解向量共线的充要条件． 难点：对向量共线的充要条件的理解． 课外作业（练习题与思考题）： 任课教师：姚靖 6.3数乘向量 [新课引入] 向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法 向量加法的三角形法则和平行四边形法则 向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a ( b = a + ((b) 差向量的意义： = a, = b, 则= a ( b 即a ( b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 [新课讲授] 6.3 数乘向量 1．示例：已知非零向量，作出++和(()+(()+(() ==++=3 ==(()+(()+(()=(3 （1）3与方向相同且|3|=3||；（2）(3与方向相反且|(3|=3|| 2．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ （1）|λ|=|λ||| （2）λ0时λ与方向相同；λ0时λ与方向相反；λ=0时λ= 3．运算定律 结合律：λ(μ)=(λμ) ① 第一分配律：(λ+μ)=λ+μ ② 第二分配律：λ(+)=λ+λ ③ 结合律证明： 如果λ=0，μ=0，=至少有一个成立，则①式成立 如果λ(0，μ(0，(有：|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ||| |(λμ)|=|λμ|| |=|λ||μ||| ∴|λ(μ)|=|(λμ)| 如果λ、μ同号，则①式两端向量的方向都与同向； 如果λ、μ异号，则①式两端向量的方向都与反向 从而λ(μ)=(λμ) 4．向量共线的充要条件 若有向量(()、，实数λ，使=λ，则与为共线向量 若与共线(()且||：||=μ，则当与同向时=μ； 当与反向时=(μ从而得 向量共线定理 向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ [课堂练习] 判断向量ａ＝－２e与ｂ＝２e是否共线? 对此题，有同学解答如下： 解：∵ａ＝－２e，ｂ＝２e，∴ｂ＝－ａ，∴ａ与ｂ共线. 分析：乍看上述解答，真是简单明快.然而，仔细研究题目已知，却发现 其解答存有问题，这是因为，原题已知中对向量e并无任何限制，那么就应允许e＝0，而当e＝0时，显然ａ＝0，ｂ＝0，此时，ａ不符合定理中的条件，且使ｂ＝λａ成立的λ值也不惟一(如λ＝－１，λ＝１，λ＝２等均可使ｂ＝λａ成立)，故不能应用定理来判断它们是否共线.可见，对e＝0的情况应另法判断才妥. 综上分析，此题应解答如下： 解：(1)当e＝0时，则ａ＝－２e＝0 由于“零向量与任一向量平行”且“平行向量也是共线向量”，所以，此时ａ与ｂ共线. (2)当e≠0时，则ａ＝－２e≠0，ｂ＝２e≠0 ∴ｂ＝－ａ(这时满足定理中的ａ≠0，及有且只有一个实数λ（λ＝－１），使得ｂ＝λａ成立) ∴ａ与ｂ共线. 综合(1)、(2)可知，ａ与ｂ共线. 2.用向量法解决几何问题 向量是数学中重要概念之一，是解决数学问题的得力工具，它简洁明快，许多几何里的命题，如果用向量知识来解决就显得格外简练. 如图，MN是△ABC的中位线，求证：MN＝BC，且MN∥BC. 证明：∵M、N分别是AB、AC边上的中点，所以=，=，=－=-=（-）=. 因此，ＮＭ＝ＢＣ且ＭＮ∥BC. [本课小结] 1通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律。 2理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用． 2