2016数学（高教版）授课教案：抛物线的简单几何性质.docVIP

数学（高教版）授课教案 授课日期 5月 28 日 5 月 28 日 授课班级 人文513-13 人文513-14 学期授课计划 的章节顺序： 8.6 抛物线的简单几何性质 授 课 目 的 与 要 求： 1．掌握抛物线的范围、对称性、顶点、离心率等几何性质； 2．掌握焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式； 3．在对抛物线几何性质的讨论中，注意数与形的结合与转化 教学方法：讲练结合 授课主要教具： 新课重点与难点： 重点：抛物线的几何性质及其运用 难点：抛物线几何性质的运用 课外作业（练习题与思考题）： 任课教师：姚靖 [新课讲解] 1.抛物线的焦半径及其应用： 定义：抛物线上任意一点M与抛物线焦点的连线段，叫做抛物线的焦半径 焦半径公式： 抛物线， 抛物线， 抛物线， 抛物线， 2．直线与抛物线： （1）位置关系： 相交（两个公共点或一个公共点）；相离（无公共点）；相切（一个公共点） 下面分别就公共点的个数进行讨论：对于 当直线为，即，直线平行于对称轴时，与抛物线只有唯一的交点 当，设 将代入，消去y，得到 关于x的二次方程 （*） 若，相交；，相切；，相离 综上，得： 联立，得关于x的方程 当（二次项系数为零），唯一一个公共点（交点） 当，则 若，两个公共点（交点） ，一个公共点（切点） ，无公共点 （相离） （2）相交弦长： 弦长公式：，其中a和分别是（*）中二次项系数和判别式，k为直线的斜率 当代入消元消掉的是y时，得到，此时弦长公式相应的变为： （3）焦点弦： 定义：过焦点的直线割抛物线所成的相交弦。 焦点弦公式：设两交点，可以通过两次焦半径公式得到： 当抛物线焦点在x轴上时，焦点弦只和两焦点的横坐标有关： 抛物线， 抛物线， 当抛物线焦点在y轴上时，焦点弦只和两焦点的纵坐标有关： 抛物线， 抛物线， （4）通径： 定义：过焦点且垂直于对称轴的相交弦 直接应用抛物线定义，得到通径： （5）若已知过焦点的直线倾斜角 则 （6）常用结论： 和 和 3．抛物线的法线： 过抛物线上一点可以作一条切线，过切点所作垂直于切线的直线叫做抛物线在这点的法线，抛物线的法线有一条重要性质： 经过抛物线上一点作一直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这点与焦点连线的夹角如图． 抛物线的这一性质在技术上有着广泛的应用．例如，在光学上，如果把光源放在抛物镜的焦点F处，射出的光线经过抛物镜的反射，变成了平行光线，汽车前灯、探照灯、手电筒就是利用这个光学性质设计的．反过来，也可以把射来的平行光线集中于焦点处，太阳灶就是利用这个原理设计的 4．抛物线的参数方程：（t为参数） 四、课堂练习： 1．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求这个正三角形的边长（答案：边长为） 2．正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线上，求正三角形外接圆的方程 分析：依题意可知圆心在轴上，且过原点，故可设圆的方程为：， 又∵ 圆过点， ∴ 所求圆的方程为 3．已知的三个顶点是圆与抛物线的交点，且的垂心恰好是抛物线的焦点，求抛物线的方程（答案：） 4．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，（1）分别求、两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求点在线段上的射影的轨迹方程 答案：（1）； ；（2）直线过定点 （3）点的轨迹方程为 5．已知直角的直角顶点为原点，、在抛物线上，原点在直线上的射影为，求抛物线的方程（答案：） 6．已知抛物线与直线相交于、两点，以弦长为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程（答案：） 7．已知直线与抛物线相交于、两点，若，（为坐标原点）且，求抛物线的方程（答案：） 8．顶点在坐标原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程（答案：或） 五、小结 ：焦半径公式、直线与抛物线位置关系等相关概念及公式 2