信号与系统分析基础 非信息类专业 潘文诚 等 第4章 离散信号与系统新.pptVIP

第4章 离散信号与系统 信号处理系统也可以分为连续系统和离散系统，用于传输和处理离散时间信号的系统称为离散系统，数字计算机就是典型的离散系统。与连续时间系统相比，离散系统具有许多优越的特点。它们可以很灵活地利用电荷转移器件、声表面波器件、通用数字计算机或高速微处理器等各种技术手段加以实现。另外，在信号传输的可靠性、信号的计算精度及系统的可集成化程度等方面，离散系统都具有较大优势，因此，在通信工程和自动化控制等领域，离散系统正逐渐取代连续系统，占据主导地位。 z变换是一种对离散信号和系统进行分析的重要数学工具。前面两章介绍的傅里叶变换和拉普拉斯变换可以将连续系统时域的微分方程变换到频域的代数方程，大大简化了分析计算过程。与之相似，z变换可以将离散系统的差分方程变换为z域上的代数方程，使其求解过程得以简化。 4.1.1 z 变换定义及其收敛域 X (z)即为离散序列x (n)的双边z变换(n=0,±1,±2,…±∞), 记为Z [x (n)]。考虑实际中的离散信号均有起始时刻，我们通常把信号的起始时刻记为n=0。对于因果信号而言，n0时，信号无定义，此时X (z)定义如下，称为序列x (n)的单边z变换(n=0,1,2,…∞)。 2．z变换的收敛域 满足上述收敛条件的复变量z的取值范围称为离散序列x (n)的z变换的收敛域（ROC）。 式（4.1.5）的左边为一正项级数，通常我们采取两种方法来判定此正项级数的收敛性——比值判定法和根值判定法。所谓比值判定法，是指通过对正项级数 中的后项与前项之比值的极限ρ是否小于1来判定级数的收敛性，即 η1则级数收敛，η1则级数发散，η=1无法判断级数的收敛性。 显而易见，此时X (z)为有限项之和的形式，只要每一项的取值有界，其累加和必然有界。又因 为x(n)(n1≤n≤n2) 的值为有限值，因此只要变量z满足0|z|∞ ，就可以保证X (z)收敛，即有限长序列的z变换收敛域为整个z平面。但这里还必须注意|z|是否可以等于0或∞。考虑下列两种情况： 图4- 1给出了一个有限长序列及其z变换收敛域的示意图。 若要令累加和 收敛，则要求 另外还需注意的是，如前面所分析过的，当 n1 0时|z|≠∞，此时z变换收敛域为Rx1 |z|∞。若n1 ≥0，由于|z|可以为无穷大，此时z变换收敛域为Rx1 |z|≤∞。 若左右两个序列的z变换收敛域不存在交集，即Rx2Rx1 ，则双边序列的z变换收敛域不存在。 图4- 5 x (n)=an u (n) 的收敛域 此无穷项的等比数列累加和的收敛条件为|b-1 z| 1，即z变换的收敛域为|z||b|此时等比数列累加和可以得到闭合形式的表达式： 4.1.2 典型序列的z变换 4.2 z逆变换 图4- 15 系统函数的极点位置与单位脉冲响应之间的关系 4.6 离散信号与系统的频域分析 我们在连续信号与系统的分析中，用拉普拉斯变换来求解描述系统输入输出关系的常系数线性微分方程，得到连续系统的系统函数H(s)；用傅里叶变换来分析信号的谐波成分以及系统的频率响应等。由前节可见，在离散信号与系统的分析中，我们也有类似的分析方法，其中z变换与拉普拉斯变换对应，用于求解离散系统的常系数线性差分方程，得到离散系统的系统函数H(z)；下面介绍与傅里叶变换相对应的离散时间傅里叶变换（discrete time Fourior transform，DTFT），并在此基础上，分析离散信号与系统的频率特性。 我们在第2章详细讨论过连续时间信号的傅里叶变换，而离散序列的傅里叶变换，也称为离散时间傅里叶变换（DTFT），是一种将序列信号x(n)从时域变换到频域的数学工具，通过这种变换我们得到离散信号的数字域频谱。这里需要注意离散时间傅里叶变换（DTFT）与离散傅里叶变换（DFT）的区别。通常所说的离散傅里叶变换是为了适用于数字计算机的分析计算而引入的一种变换方式，我们将在下一章给出详细介绍。 离散时间傅里叶变换X(e j?)是频率?的复函数，在数字频谱的分析中可以表示为 图4- 18 例4-17的DTFT 从图中可看出幅度谱是?的偶函数，相位谱是?的奇函数。 表4-3中给出了一些常用序列的离散时间傅里叶变换。 由于序列的离散时间傅里叶变换实际上就是其z变换在单位圆上的取值，因此其基本性质与z变换的性质比较近似，表4- 4给出了DTFT的基本性质，不再证明。