信号与系统——信号分析与处理 上册 程耕国 第2章新.pptVIP

E-mail:shenjh@ 第2章 时域连续信号的频域分析 引言 2.1 信号的正交分解 2.2 周期信号的频谱分析——傅里叶级数 2.3 非周期信号的频谱分析—傅里叶变换 2.4 傅里叶变换的基本性质 2.5 周期信号的傅里叶变换 2.6时域采样定理 2.7小结 引言 信号具有时域特性和频域特性，本章讨论信号的频域特性，其目的之一是掌握信号频域特性的分析，二是为系统的频域分析方法作准备。从本章开始由时域转入变换域分析，频域分析将时间变量变换成频率变量，揭示了信号内在的频率特性以及信号时间特性与其频率特性之间的密切关系，从而导出了信号的频谱、带宽以及滤波、调制和频分复用等重要概念。 2.1 信号的正交分解 由上一章的讨论可知，连续时间信号可以表示为基本信号的线性组合，其基本信号为阶跃信号或冲激信号。这种分解不仅是信号分析所需要的，同时，也对求解连续信号通过线性时不变系统的零状态响应带来方便。 信号分解的方法并不是唯一的，本章将介绍信号的另一种分解形式，即将连续信号分解为一系列的正交函数，各正交函数属于一完备的正交函数集。 2.1.1 正交函数集 对于一个三维空间的矢量 可以用一个三维正交矢量集的分量组合表示，可写为： 正交函数集 正交函数集 则称此函数集为在区间上的正交函数集。在区间 内相互正交的n个函数构成正交信号空间。 正交函数集 即 与函数集 的每一个函数都正交，那么它本身就应属于此函数集。显然不包含 的集是不完备的。 正交函数集 因为 正交函数集 2.1.2 信号的正交分解 设有 个函数 在区间上 构成一个正交函数集，将任一函数 用这 个正交函数的线性组合来近似，可以表示为： 信号的正交分解 这里“误差最小”不是指平均误差最小，因为平均误差很小甚至等于零时，也可能出现较大的正误差与较大的负误差在平均过程中相互抵消，以致不能正确反映两函数的近似程度。通常选择误差的均方值最小。 信号的正交分解 即 信号的正交分解 交换微分与积分次序，得 信号的正交分解 若为复函数集,则为 2.2 周期信号的频谱分析——傅里叶级数 早在18世纪中叶，丹尼尔.伯努利在解决弦振动问题时就提出了这样的见解：任何复杂的振动都可以分解成一系列谐振动之和。 2.2.1 三角形式的傅里叶级数 十九世纪初，法国数学家傅里叶曾大胆地断言：任意函数都可以展成三角级数。 傅里叶级数 由正、余弦正交条件，可得傅里叶系数： 傅里叶级数 可见，傅里叶系数 和 都是 (或 )的函数。其中 是 (或 )的偶函数，即有： = 。 是 (或 )的奇函数，即有： =- 。在确定上述积分时，只要积分区间是一个周期即可，对积分区间的起止并无特别要求。 傅里叶级数 傅里叶级数 上式表明，任何满足狄里赫利条件的周期信号可分解为直流和许多余弦(或正弦)分量。 傅里叶级数 周期信号傅里叶级数的物理意义在于： 周期信号可以分解为一个直流分量与许多谐波分量之加权和。 傅里叶级数 例2-1 试将图2-2所示的方波信号 展开为傅里叶级数。 傅里叶级数 傅里叶级数 傅里叶级数 傅里叶级数 可以看到，合成波形所包含的谐波分量愈多时，除间断点附近外，它愈接近于原方波信号。在间断点附近，随着所含谐波次数的增高，合成波形的尖峰愈靠近间断点，但尖峰幅度并未明显减小。 可以证明(见理想低通滤波器的响应)，既使合成波形所含谐波次数，在间断点处仍有约9%的偏差，这种现象称为吉布斯(Gibbs)现象。 2.2.2 指数形式的傅里叶级数 利用欧拉公式 傅里叶级数 将上式第三项中的 用 代换，并考虑 是 (或 )的偶函数， = ， 是 (或 )的奇函数， =- 。则上式可写成： 傅里叶级数 将 写成 ， ，则上式可写成 傅里叶级数 令复向量 ，称为复傅里叶系数。则得到傅里叶级数的复数形式 傅里叶级数 下面综合一下三角函数型和指数型傅里叶系数之间的关系 傅里叶级数 傅里叶级数 傅里叶级数 从而有 傅里叶级数 傅里叶级数 2.2.3信号的性质与傅里叶系数之间的关系 若给定的信号具有某种特点，那么，其傅里叶系数的有些值将等于零，从而使傅里叶系数的计算较为方便。 傅里叶系数