一类不定方程组相关问题的引申、应用及反思.pdfVIP

解 题 研 究 J I E T I Y A N J I U 类不定方程组相关问题的引申、应用及反思 王淼生 （福建省厦门第一中学） 摘要：某类不定方程组，从纯代数角度解答显得 组实数解，或无数多组实数解；从几何背景审视淫式 困难时，可以考虑从几何的视角并借助几何背景所蕴 有三种位置关系：平面与球面 离、 切及 交；站 含的代数性质来处理，这样处理不仅优美简捷，而且 在数形结合高度，则为高等数学中空间解析几何 （如 ［3 ］ 能揭示问题本质援 文 ）中的平面与球面的位置关系及 应代数性质. ： ；柯西不等式 性质 1：当d r圳平面与球 离圳淫式无实数解； 关键词 数形结合；几何背景 当d r圳平面与球 交圳淫式无数多组实数解，这无 一、呈现问题 数多组实数解正是平面截球面所得到的圆上的所有点； 当d = r圳平面与球 切圳淫式有唯一一组实数解援 无论在高考中还是在自主招生乃至数学竞赛中，以 此时d 表示球心到平面的距离， ax + by + cz + f = 0 ， 下不定方程组频频出现：嗓 （x - x 2 2 2 2 即d = ax0 + by0 + cz0 +f 援 ）+ （y - y ）+ （z - z ）= r ， 2 2 2 0 0 0 姨a + b + c 2 2 2 （a + b + c 屹0 ）援 淫 对于淫式，我们最关心一组实数解的情形，用初 对于淫式涉及的 关问题，按常理显然归属代数 等数学方法如何求出这唯一一组实数解呢？也就是说 ［1］ 畴援 如文 就是从纯代数的视角得到系列结论并利用 当平面与球面 切时，我们如何求出切点坐标呢？ 其来解决 关问题援 我们知道解析几何 （平面解析几 华罗庚指出，要善于退，足够地退，退到最原始 ） ，因 何、空间解析几何 正是数与形高度结合的结晶 而不失去重要性的地方，是学好数学的诀窍援 因此不 （ 、类球 此从几何 如直线、圆、平面、球乃至类平面 妨先从球心为坐标原点的最简单情况入手. ） 面等 视角并借助几何背景、几何意义所蕴含的代数 设平面：ax + by + cz + f = 0 ，淤 （ 、柯西不等式等 性质 如点到直线的距离公式 ）来处 2 2 2 2