算术平均数教案.docVIP

6. 2 算术平均数与几何平均数 一、教学目标 （一）知识目标： （1）学会推导并掌握两个正数算术平均数不小于几何平均数这一定理； （2）理解定理的几何意义； （3）能够应用定理证明不等式； （二）情感态度目标：提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力。 二、教学重、难点 （1）教学重点：均值不等式证明及利用均值定理解决最值问题。 （2）教学难点：等号成立的条件。 三、教具准备 黑板、粉笔 四、教学过程 （一）复习引入 上一节，我们完成了对不等式性质的学习，首先我们来作一下回顾. 定理1：如果ab，那么ba，如果ba，那么ab．(对称性) 即：abba；baab 定理2：如果ab，且bc，那么ac．(传递性) 即ab，bcac 定理3：如果ab，那么a+cb+c． 即aba+cb+c 推论：如果ab，且cd，那么a+cb+d．(相加法则) 即ab， cd a+cb+d． 定理4：如果ab，且c0，那么acbc； 如果ab，且c0，那么acbc． 推论1 如果ab 0，且cd0，那么acbd．(相乘法则) 推论2 若 定理5 若 　由上述性质，我们可以推导出下列重要的不等式 （二）讲授新课 1．重要不等式：如果 证明： 当 所以，，即 由上面的结论，我们又可得到 2．定理：如果a,b是正数，那么 证明：∵ ，即 显然，当且仅当 说明： ）我们称的算术平均数，称的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数ⅱ）成立的条件是不同的：前者只要求a,b都是实数，而后者要求a,b都是正数 ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件 3．均值定理的几何解释 以长为a+b的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，使AC=a,CB=b过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么，即 这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即a=b时，等号成立 所以，均值不等式的意义是：半径不小于半弦 (三).例题讲解 例1 已知x,y都是正数，求证： （1）如果积xy是定值P,那么当x=y时，和x+y有最小值 （2）如果和x+y是定值S,那么当x=y时，积xy有最大值 证明：因为x,y都是正数，所以 （1）积xy为定值P时，有 上式当时，取“=”号，因此，当时，和有最小值 （2）和x+y为定值S时，有 上式当x=y时取“=”号，因此，当x=y时，积xy有最大值 说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件： ⅰ）函数式中各项必须都是正数; ⅱ)函数式中含变数的各项的和或积必须是常数； ⅲ）等号成立条件必须存在 归纳：用均值不等式求最值必需满足一正二定三相等。 例2、 已知：（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx），求证： 分析：本题结论中，注意互为倒数，它们的积为1，可利用公式a＋b≥2，但要注意条件a、b为正数故此题应从已知条件出发，经过变形，说明为正数开始证题 证明：∵（a＋b）（x＋y）＞2（ay＋bx） ∴ax＋ay＋bx＋by＞2ay＋2bx ∴ax－ay＋by－bx＞0 ∴（ax－bx）－（ay－by）＞0 ∴（a－b）（x－y）＞0，即a－b与x－y同号 ∴均为正数 ∴＝2 (当且仅当时取“＝”号) ∴≥2 （四）课堂练习： 1、求证： 2、比较大小？ 3、若x-1,则x为何值时,有最小值,最小值为几？ 4、已知x、y都是正数，求证： (1)≥2；(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3 （五）课堂小结 本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（），几何平均数（）及它们的关系（≥）并会应用它证明一些不等式，但是在应用时，应注意定理的适用条件。 （六）布置作业 习题6.2?? 1，2，3，4