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斜率互为倒数的两直线的几何特征 贵州省松桃县孟溪中学 冉光华(554105) 若平面上两条直线的斜率分别为(本文中的直线斜率均假定存在),则 (*) 我们容易想到:当时,蕴藏着什么数学内容?其几何意义又是什么? 命题1. 对称轴的斜率为. 该命题的证明见下面命题2的证明中③，由此知: 的几何意义是: 对称轴的倾斜角是45°或135°. 将命题1中的对称轴一般化,得 命题2. 且,的对称轴的斜率为. 证明:“”.如图1, 关于直线l对称,设l1到l2的角为2θ(0≤2θ＜π),则l1到l, l到l2的角均为θ且＜θ＜ 整理,得. ③ 先证.反证:若,则由③得到,与已知矛盾. ∴.若 若所以. ④ “”.因,④③②. 假设,则.当,与假设矛盾; 当时,由假设知矛盾.所以假设不成立,即.同理. ∴④①的后部等式. 设l1到l的角, l到l2的角分别是θ1,θ2, l是斜率为k且过l1, l2交点的直线.由①的后部等式,得: ,从而k是l1, l2对称轴的斜率. 命题3.等腰三角形底边斜率为分别为两腰斜率. . 如图2,只要注意到等腰三角形顶角的外角平分线与底平行,将1、2命题中的斜率k转化为不变,此命题即可获证.证明从略. 例1.如果直线与直线关于直线对称,求. 解:,由命题1知, 联立,得交点 所求 例2.求直线与轴夹角的平分线方程. 解:设平分线的斜率为轴斜率为0,运用命题2,得: 解之 因为两直线的夹角不大于舍去. 故所求平分线的方程是. 例3.等腰三角形一腰所在的直线l1的方程是,底边所在的直线l2的方程是 点(-2,0)在另一腰上,求这腰所在直线l3的方程. 解:底的直线斜率,运用命题3,得 所求l3的方程为. 诸如直线关于直线的对称性问题、光线入射与反射问题、等腰三角形问题、角平分线问题等问题中需求直线方程或斜率，运用本文方法，都可简捷解答.限于篇幅,不再举例. —2— ① ②
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