（平面）典例剖析(第四课时).docVIP

［例1］如图9—16，△ABC在平面α外，它的三边所在的直线分别交平面α于P、Q、R，求证：P、Q、R三点共线. 选题意图：本题考查公理2的结论，考查共线问题的研究方法，教会学生如何证明点共线. 分析：先确定一条直线，再证明其他点也在这条直线上. 证明：∵AB∩α＝P，AB面ABC ∴P∈面ABC，P∈α， ∴P在平面ABC与平面α的交线上. 同理可证Q和R均在这条交线上. ∴P、Q、R三点共线. ［例2］三个平面α、β、γ两两相交于三条直线，即α∩β＝ｃ，β∩γ＝ａ，γ∩α＝ｂ，已知直线a和b不平行. 求证：a、b、c三条直线必过同一点. 选题意图：本题考查直线共点问题的研究能力. 证明：∵α∩γ＝ｂ，β∩γ＝ａ ∴ａγ，ｂγ ∵ａ、ｂ不平行 ∴ａ、ｂ必相交，设ａ∩ｂ＝P ∵P∈ａ，ａβ，∴P∈β 而α∩β＝ｃ，∴P∈ｃ ∴ａ、ｂ、ｃ相交于一点P. 即a、b、c三条直线过同一点. ［例3］如图9—17，在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是AA1，DC1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l.(1)画出l的位置.(2)设ｌ∩A1B1＝ｐ，求PB1的长.(3)求D1到l的距离. 选题意图：本题考查面面相交的条件与性质，考查点线距离等知识. 解：(1)设过三点D、M、N的平面为α，α与平面AA1D1D的交线为直线DM，设DM∩D1A1＝Q，则α与平面A1B1C1D1的交线为QN，即QN为所要画的线l. (2)设QN∩A1B1＝P，△MA1Q≌△MAD，∴A1Q＝AD＝A1D1，A1是QD1的中点， ∴A1P＝，即 (3)作于H，则D1H的长就是D1到l的距离，在Rt△QD1M中，两直角边D1N＝,,斜边,即D1到l的距离为. 注意：在立体几何的计算过程中，首先寻求或作出所要求的对象，如上例3中作于H，然后说明这对象就是要求解的，最后是正确的计算和写出完整的答案. 图9—17