（平面）立体几何教学中基本图的构建与识别.docVIP

立体几何教学中基本图的构建与识别 立体几何的研究对象是空间图形，其教学的首要目标在于培养和提高学生的空间想象力，进而建立并完善学生的空间观念，其次才是推理与计算能力的培养.所以，立体几何的教学必将以图的形式展开，其间不断渗入逻辑推理，它始于构图，行于识图，止于用图. 1.基本图的构建 首先是由实物构图.这类似于绘画中的写生，要多让学生动手画画，并让他们自己直观地评判“象不象”？在此基础之上，教师再引导学生加以抽象概括，便可构建出一批基本图.譬如，由日光灯与天花板的位置关系可得课本第18页图1—19（右一）；再由旗杆与草坪的位置关系可得课本第22页图 1—25等等.这样的构图教学，让学生感受到立几就在他们身边！ 其次是由模型来构图.立几中的有些问题对于初学者而言，会因想象不出它们的直观形象而难以琢磨.如果能以学生早已熟悉的几何模型（如正方体、长方体、圆柱、圆锥等）为载体构建基本图，并用来举例说明，那么教师口说不明之苦便会一画了之，学生百思不解之处也会一看明之.例如，两个面分别垂直的两个二面角的大小有何关系呢？如图1，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，当两个二面角分别为二面角A1—B1C1—C与二面角D1—AD—B时，这两个二面角的大小相等或互补；当两个二面角分别为二面角A1—AB—D与二面角E—B1C1—C时，这两个二面角的大小不定（可让面EFC1B1绕B1C1旋转）.又如，三棱锥的四个侧面中至多可以有多少个直角三角形呢？如图2，在圆柱OO1中，三棱锥P—ABC的侧面三角形均为直角三角形. 图1 图2 最后是由语言来构图.运用语言构图时，教师要不失时机地将逻辑推理渗入构图之中，以避免学生构图的随意性.例如在“P作PH⊥l于H”的构图中；H点的位置确定主要依据直观式的“象不象”，见图3.而“PO⊥平面AOC于O，OC⊥AC于C，作PH⊥AC于H”的构图中，H位置的确定便要依赖于三垂线定理，见图4.又如在“∠BAC在平面内，点P，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，PE=PF，作PO⊥于O”的构图中，O的位置只能在∠BAC的平分线上，若PE=PF改为∠PAB=∠PAC，结论仍然成立，见图5. 图3 图4 图5 应当指出的是，图4、5是立体几何课本中两张极为重要的基本图（参见《立体几何》课本第27页图1—32与第29页图1—34），不少立体几何问题都要用到这两张图.图4又常被称为正棱锥的“特征图”，其用途之广，由此可见一斑.基本图的构建是形成空间观念、培养空间想象能力的基础，同时也是立体几何学习入门的必经之路.它在教学的初始阶段，居于首位，不容忽视！ 2.基本图的识别 在不断形成基本图之际，识图教学便水到渠成地开始了.所谓基本图的识别就是在复杂图中发现并分离出基本图，或是在非常规位置图中发现并确定标准位置的基本图的过程.基本图的识别可从以下两个方面着手. 首先是以定义、定理为主线，横向识图.几乎每一个定义、定理都对应着一张基本图，定义、定理是图中点、线、面位置关系的抽象概括，而图则是定义、定理的直观反映.所以，讲授定义、定理之时，便是识图教学之机，而识图的过程同时也就是深化理解定义、定理的过程.这里以三垂线定理及其逆定理的教学为例，加以说明.一般地说，对于面外一线与面内一线垂直的证明问题，用三垂线定理要比用线面垂直证线线垂直简便.但在教学实际中，一个较为普遍的现象是：学生宁愿用后者走弯路，也不肯用前者走捷径.虽然先入为主是一个原因，但是更为主要的原因还是学生不会识图，对三垂线定理中四线一面构成的基本图不熟悉，不能从较为复杂图中或非常规位置图中快速识别这张基本图.如果我们在得到三垂线定理的基本图后，即刻设置题组，展开横向识图训练，效果或许会完全两样. 例1.用三垂线定理或逆定理证明下列各题： （1）如图7，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，则有A1C⊥AD1，A1C⊥B1D1，A1C⊥AB1； （2）如图8，PA⊥菱形ABCD所在平面，则有PC⊥BD； （3）如图9，PB⊥平面ABC，∠ACB=90°BH⊥PC于H，则BH⊥PA； （4）AE⊥PC于E，AF⊥PB于F，则EF⊥PC. 面对以上生动活泼的识图练习，若能辅之以多媒体动画技术，让图转动起来，让基本图穿梭于众图之中，我们的学生还会为记不住定义、定理而发愁吗？我们的教师还会因学生缺乏空间想象能力而烦恼吗？ 其次是以例题为载体，纵向识图、横向识图的优点是，能在同一时间内对同一张基本图进行多角度、全方位地审视，给学生留下一个极为深刻的第一印象，从而形成一个小的图形系统.其不足之处也是显而易见的，那就是该基本图与其他基本图之间的内在联系不清，它在整个立体几何中所占的地位不明，正