教案三：第二课时（抛物线和简单几何性质）.docVIP

●教学目标 （一）教学知识点 1.抛物线的性质的运用. 2.与抛物线有关的轨迹的求法. 3.直线与抛物线的位置关系. （二）能力训练要求 1.灵活运用抛物线的性质 2.掌握与抛物线有关的轨迹的求法及直线与抛物线的位置关系. （三）德育渗透目标 训练学生分析问题、解决问题的能力，培养学生数形结合思想、化归思想及方程的思想，提高学生的综合能力. ●教学重点 抛物线几何性质的运用，与抛物线有关的轨迹的求法及直线与抛物线的位置关系. ●教学难点 抛物线几何性质的综合运用 ●教学方法 讲练结合法 ●教具准备 投影片三张 第一张：例1、例2（记作§8.6.2 A） 第二张：例3、例4（记作§8.6.2 B） 第三张：练习题（记作§8.6.2 C） ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］大家先回忆标准方程是y2=2px(p＞0)的这种抛物线的几何性质. ［生］1.x≥0,y∈R,即图象落在y轴右侧. 2.关于x轴对称，即x轴是抛物线的轴. 3.原点是抛物线的顶点. 4.离心率为1. Ⅱ.讲授新课 （打出投影片§8.6.2 A) ［例1］正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2=2px(p＞0)上，求这个正三角形的边长. 分析：想求出正三角形的边长，需确定另外两个点的位置，此时可根据图形，再利用正三角形与抛物线都是轴对称图形，可证明x轴是它们的公共对称轴，接着可求出边长. 解：如图所示，设正三角形OAB的顶点A、B在抛物线上，且坐标分别为（x1,y1)、(x2,y2).则 y12=2px1,y22=2px2 又∵|OA|=|OB| ∴x12+y12=x22+y22 即x12-x22+2px1-2px2=0 (x1-x2)(x1+x2)+2p(x1-x2)=0 ∴(x1-x2)(x1+x2+2p)=0 ∵x1＞0,x2＞0,2p＞0 ∴x1+x2+2p≠0 则x1=x2 ∴y1=-y2 即A、B两点关于x轴对称 则∠AOx=30° ∵AB⊥x轴 ∴tan30°= ∵x1= ∴y1=2p 而|AB|=2y1=4p即为所求边长. ［例2］如图所示，P为抛物线y=x2上的一个动点，连接原点O与P，以OP为边作一个正方形OPQR，求动点R的轨迹. 分析：利用OP与OR垂直且相等的条件，转化为方程求解，也可用平面几何的方法求解. 解法一：设动点P及动点R的坐标分别为P（x0,y0）、R(x,y) 则kOP= ∵kOP·kOR=-1 ∴x0·=-1 又∵|OP|=|OR| ∴x2+y2=x02+y02=x02+x04 解x04+x02-(x2+y2)=0得： x02= x02·= ·=1 ∴1+4x2+4y2=(+1)2 化简整理得：y4=x2 即y2=x或y2=-x 则动点R的轨迹是两支抛物线（不包括原点） 解法二：利用△ORN ≌△OPM的条件，用转移法求动点R的轨迹. 设动点R的坐标为（x,y)，则P点的坐标是（y,-x)或P（-y,x) 又∵P点在抛物线上 ∴P点坐标适合其方程 ∴（-x)=y2或x=(-y)2 即动点的轨迹方程为：y2=±x 故动点R的轨迹是两支抛物线（不包括原点）. （打出投影片§8.6.2 B) ［例3］直线l:y=kx+1，抛物线C：y2=4x,当k为何值时l与C相切、相交、相离. 分析：根据题意先画图，直线是过点（0，1）的一条动直线，抛物线是p=2，开口向右的抛物线，然后可利用判别式去求k的值. 解：将l与C的方程联立： 化简得：k2x2+(2k-4)x+1=0 当k≠0时，是一个一元二次方程. ∴Δ=(2k-4)2-4k2=16-16k ①Δ=0即k=1时，l与C相切 ②Δ＞0即k＜1且k≠0时，l与C相交 ③Δ＜0即k＞1时，l与C相离 当k=0时，直线l:y=1与C：y2=4x相交. 综上所述：k=1时，l与C相切；k＜1时，l与C相交；k＞1时，l与C相离. ［例4］设P为抛物线y=x2上一动点，定点A（a,0)关于点P的对称点是Q（a≠0). (1)求点Q的轨迹方程 （2）设（1）中的轨迹与y=x2交于B、C，当AB⊥AC时，求a的值. 分析：（1）可利用转移法求点Q的轨迹. （2）用AB、AC垂直的充要条件，解关于x的一元二次方程，求出a的值. 解：（1）设Q(x,y),P(x1,y1) ∵P、Q关于A（a,0)对称 ∴ 又∵(x1,y1)在抛物线y=x2上 ∴=()2 即Q点的轨迹方程是：y=(x+a)2. (2)设抛物线y=(x+a)2与y=x2交于点B（b,b2),C(c,c2),且AB⊥AC ∴ ∴b2c2=-bc+a