教案四 第二课时（不等式的证明A）.docVIP

●教学目标 (一）教学知识点 1.公式法证明不等式. 2.两正数和为定值或积为定值求最值. (二）能力训练要求 1.掌握用公式法证明不等式. 2.理解并掌握用两正数和为定值或积为定值求最值. (三）德育渗透目标 利用公式法证明不等式，既培养了学生观察应变的逻辑思维能力，又培养了学生实事求是的科学态度，进一步加强对学生辩证唯物主义观念的教育. ●教学重点 公式法证明不等式. 1.a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时，取等号. 2.a,b∈R+,,当且仅当a=b时取等号. (1）若ab为定值p,则当a=b时，a+b有最小值2. (2)若a+b为定值s,则当a=b时，ab有最大值s2. 3.利用求最大值最小值是解决最值问题常用的方法，在具体解题过程中应注意三点：(1）两数均为正数；(2）两正数之和或之积为定值；(3）在两正数的取值范围内，两正数可以相等. ●教学难点 1.对一些条件不等式，条件的合理利用. 2.求最值时，找和为定值或积为定值，如何凑和或积为定值. ●教学方法 读、议、练、讲单元教学法 ●教具准备 投影片两张 第一张：记作§6.3.2 A 公式法证明不等式 一、基本公式 (1)若a,b∈R,则a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取“=”号. (2)若a,b∈R,则,当且仅当a=b时取“=”号. ①若ab为定值p，则当a=b时，a+b有最小值2. ②若a+b为定值s,,则当a=b时，ab有最大值s2. 二、基本公式的等价形式及推广 (1）ab≤ (a,b∈R),当且仅当a=b时取“=”号. (2)ab≤()2(a,b∈R+),当且仅当a=b时取“=”号. (3)≥2(ab0),当且仅当a=b时取“=”号. 第二张：记作§6.3.2 B 基本公式及其推广的应用： ［例1］已知a,b∈R+,且a+b=1,求证： (1)≥4;(2)a2+b2≥; (3)≥8;(4)a3+b3≥; (5);(6) (1+)(1+)≥9; (7)(1-)(1-)≥9; (8)(a+)2+(b+)2≥; (9)(a+)(b+)≥; (10)(a+)2+(b+)2≥. ●教学过程 Ⅰ.课题导入 今天，我和同学们来共同探索“公式法”证明不等式.这节课并不难，而涉及的题目变形灵活，只要我们理解并掌握了“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(均值不等式）”，这一重要定理，在此基础上，灵活利用它的推广及其变形(几个重要的不等式），就能学会并把握好“公式法”证明不等式这一重要方法.相信同学们能获得成功. (打出投影片§6.3.2 A，引导学生阅读基本公式及基本公式的变形及推广） 我们要重点掌握下面的基本公式及变形： （1）若a,b∈R,a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时取“=”号. （2）若a,b∈R+,,当且仅当a=b时取“=”号. ①若ab为定值p,则当a=b时，a+b有最小值2. ②若a+b为定值s,则当a=b时，ab有最大值s2. (3)a,b∈R,则ab≤,当且仅当a=b时取“=”号. (4)a,b∈R+,则ab≤()2,当且仅当a=b时取“=”号. (通过阅读投影片§6.3.2 A，疏理出重点知识，引导同学们完成下面例1的证明过程） Ⅱ.讲授新课 (打出投影片§6.3.2 B，引导学生阅读例1） ［例1］已知a,b∈R+,且a+b=1, 求证：(1）≥4; (2)a2+b2≥; (3)+≥8; (4)a3+b3≥; (5); (6)(1+)(1+)≥9; (7)(1-)(1-)≥9; (8)(a+)2+(b+)2≥; (9)(a+)(b+)≥; (10)(a+)2+(b+)2≥. ［师］解题时，正确、迅速地把握解题的“切入点”是很重要的，而“切入点”的选择一方面要依靠对题设的分析，另一方面来自解题的“经验”，本题中由目标不等式发现含有形如ab,a+b,a2+b2等式子，故由“经验”马上联想公式a2+b2≥2ab(a,b∈R)及 (a,b∈R+)，即可很快得证.在不等式证明中，两个正数a,b的和为1(即a+b=1),作为条件出现在题设，这时用好这个“1”常常成为解题的关键. ［生］(1)∵a,b∈R+ . (2)∵a,b∈R+,且a+b=1 ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1-2ab ≥1-2·()2=1-= 故a2+b2≥. (3)∵a,b∈R+,且a+b=1 ∴ 故≥8. (4)∵a,b∈R+,且a+b=1 ∴a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b) =1-3ab≥1-3·()2= 或a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) =a2+b2-ab=(a+b)2-3ab =1-3ab≥1-3·()2= 故a3+b3≥. (3)∵a,b∈R+,且a+b=1 ∴()2=a+b+2=1+2≤1+(a+b)=2 故≤. (6