教案四： 第一课时1（不等式的证明A）.docVIP

●教学目标 (一)教学知识点 1.比较法证明不等式的原理. 2.比较法证明不等式的一般步骤. (二)能力训练要求 1.理解用比较法证明不等式的原理和思路. 2.会用比较法证明简单的不等式. (三)德育渗透目标 掌握比较法证明不等式，培养学生转化的数学思想，提高学生的逻辑思维及推理能力. ●教学重点 比较法是证明不等式的一种最重要最基本的方法，比较法分为：(1)求差比较，它有三个步骤：作差、变形、判断符号.变形是把差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个数的平方和的形式，或者变形为一个分式，或者变形为几个因式的积的形式等.总之，能够判断出差的符号是正或负即可.(2)求商比较，它的步骤也有三步：作商、变形、判断大小. ●教学难点 用比较法证明不等式时，作差是依据，变形是手段，判断符号才是目的.变形的过程常常是因式分解或配方. ●教学方法 引导、探索、比较、归纳四步教学法. ●教具准备 投影片一张 记作§6.3.1 A 实数的运算性质与大小顺序之间的关系： 1.若a，b∈R，则有： a-b0ab a-b=0a=b a-b0ab 2.若a∈R＋，b∈R＋，则有： 1ab =1a=b 1ab ●教学过程 Ⅰ.课题导入 同学们，前面我们学习了实数的运算性质与大小顺序之间的关系，在此基础上，我们掌握了比较两个实数大小的方法——差值比较法.(便于学生回顾复习和教师驾驭课堂，打开投影片§6.3.1 A） 同学们熟练掌握以下实数的运算性质与大小顺序之间的关系： 1.若a，b∈R，则： a－b＞0a＞b a－b＝0a＝b a－b＜0a＜b 2.若a，b∈R＋，则： ＞1a＞b ＝1a＝b ＜1a＜b 例如，要证明a＞b，只要证明a－b＞0；要证明a＜b，只要证明a－b＜0.这种证明不等式的方法，在上两节中实际上已经使用过，通常叫做比较法(后面“备课资料”中作详细介绍). 今天，我们来探索研究比较法证明不等式. Ⅱ.讲授新课 我们先来看下面的两个例子： ［例1］求证x2＋3＞3x ［师］请同学们观察我们要证明的题目.显然，首先对x2＋3与3x作差，通过变形，然后判断x2＋3与3x的差的符号，即可达到证题目的. ［生］（x2＋3）－3x ＝x2－3x＋3 ＝x2－3x＋（）2－（）2＋3 ＝（x－）2＋≥＞0 故x2＋3＞3x. (教师引导学生合理配方，是本题变形的关键. ［例2］已知a，b，m都是正数，并且a＜b，求证. ［师］证明，只需比较的大小，也就是考查它们的差与零的大小关系.但要注意，作差后的变形是证题的关键，变形的目的是判断差值与零的大小关系. ［生］ ＝ ＝ 因为a，b，m都是正数，且a＜b， 所以b＋m＞0，b－a＞0 ∴＞0 即＞0 故. ［师生共析］例1、例2的证明，说明比较法是证明不等式的一种最常用、最基本、最重要的方法.比较法有差值比较和商值比较两种.（打出投影片§6.3.1 A，使同学们理解差值比较与商值比较的基本原理).其中差值比较法证明不等式的基本思路是：作差→变形→判断差的正负→得出结论.商值比较法证明不等式的基本思路与差值比较法的基本思路基本一致，即作商→变形→判断商与1的大小→得出结论.不同的是商值比较法在作商时必须保证两式子均正.（关于比较法证明不等式，在后面“备课资料”中有详细说明). ［例3］已知a、b均为正数，求证：aabb≥abba. ［师］由于要比较的两式呈幂的结构，故采用作商比较法证明.(结合函数性质，正确引导学生完成证明). ［生］令x＝＝aa－b·bb－a＝（）a－b， 当a＞b时，＞1，a－b＞0，由指数函数的性质，得x＞1； 当a＜b时，0＜＜1，a－b＜0，由指数函数的性质，得x＞1； 当a＝b时，显然x＝1. ∴a、b均为正数且有abba＞0，始终满足x≥1. 即≥1 故aabb≥abba. ［师］函数的性质——特别是函数的单调性——也是进行不等过渡的重要依据，我们在今后应重视这种方法的运用. ［例4］已知a、b是正数，且a≠b，求证a3＋b3＞a2b＋ab2 ［师］我们观察式子a3＋b3与a2b＋ab2，都能进行因式分解且均含有公因式（a＋b），所以考虑左、右作差或作商后，都易于化简.因此，选用作差比较法或作商比较法均可.(引导学生边观察、边比较，给学生探索的目标，在同学们证题过程中及时纠正共性问题，使同学们比较归纳出正确答案). ［生甲］(差值比较法) （a3＋b3）－（a2b＋ab2） ＝（a3－a2b）－（ab2－b3） ＝a2（a－b）－b2（a－b） ＝（a2－b2）（a－b） ＝（a＋b）（a－b）2 ∵a，b是正数且a≠b ∴a＋b＞0，（a－b）2＞0 ∴（a＋b）（a－b）2＞0 即（a3＋b3）－（a2b＋ab2）＞0 故a3＋b3＞a2b＋ab2 ［生乙］