（两条直线的位置关系）教案二：第二课时.docVIP

●教学目标 (一)教学知识点 1.直线l1到l2的角. 2.直线l1与l2的夹角. 3.夹角公式. (二)能力训练要求 1.明确理解直线l1到l2的角及两直线夹角的定义. 2.掌握直线l1到l2的角及两直线夹角的计算公式. 3.能根据直线方程求直线l1到l2的角及两直线夹角. (三)德育渗透目标 1.用联系的观点看问题 2.认识事物在一定条件下能够相互转化. ●教学重点 两条直线的夹角. ●教学难点 夹角概念的理解. ●教学方法 学导式 首先使学生认识到平行和垂直是两直线位置关系的特殊情形，而相交是两直线位置关系的一般情形.而能够反映相交直线相对位置的就是角，由此引出直线l1到l2的角，直线l1与l2的夹角，并且在有关公式的推导过程中，引导学生灵活应用有关三角函数的知识.然后通过一定的训练使学生加深对公式的理解与熟悉程度. ●教具准备 投影片两张 第一张：l1到l2的角的公式的推导过程(记作§7.3.2 A） 第二张：本节例题(记作§7.3.2 B) ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］上一节课，我们一起研究了两条直线的平行与垂直问题，得出了两直线平行与垂直的充要条件，现在，我们作一下简单回顾. ［师］两直线平行的充要条件是什么? ［生］两直线平行的充要条件是两直线的斜率相等，在y轴上的截距不等. ［师］两直线垂直的充要条件是什么? ［生］两直线垂直的充要条件是两直线的斜率之积为－1. ［师］上述两位同学的回答基本正确，但是都忽略了对于条件的说明.两 直线平行或垂直条件都是对于两直线斜率存在时而言，若两直线中有一条或两条斜率不存在，则它们的位置关系较易判断.需要注意的是，若对于含有字母的直线方程讨论位置关系，不应漏斜率为0或斜率不存在等特殊情形. ［师］这一节课，我们将一起研究两直线相交而形成角的问题. Ⅱ.讲授新课 1.直线l1到l2的角 两条直线l1和l2相交构成四个角，它们是两对对顶角，我们把直线l1按逆时针方向旋转到与l2重合时所转的角，叫做l1到l2的角. ［师］这一概念的定义，是为了区分两相交直线所形成的角，也是进一步研究的需要，应注意在这一概念中l1、l2是有顺序的. 如图，直线l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2. 并且，有了对这一概念的认识，也就容易理解两直线的夹角的概念. 2.直线l1与l2的夹角 如上图所示，l1到l2的角是θ1，l2到l1的角是θ2＝π－θ1，当直线l1与l2相交但不垂直时，θ1和π－θ1，仅有一个角是锐角，我们就把其中的锐角叫做两条直线的夹角. 当直线l1⊥l2时，直线l1和l2的夹角是. 说明：θ1＞0，θ2＞0，且θ1＋θ2＝π. ［师］请大家根据直线l1到l2的角与l1与l2夹角的定义过程中，寻求一下两种角的取值范围有何不同? ［生］l1到l2的角的取值范围是(0°，1８0°)，l1与l2的夹角的取值范围是(0°，］. ［师］下面我们一起推导直线l1到l2的角的公式. 3.直线l1到l2的角的公式 tanθ＝ (给出投影片§7.3.2 A) 推导：设直线l1到l2的角为θ，l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2. 如果1＋k1k2＝0，即k1k2＝－1，则θ＝；如果1＋k1k2≠0 设l1、l2的倾斜角分别是α1和α2，则k1＝tanα1，k2＝tanα2 由上图(1)(2)分别可知： θ＝α2－α1或θ＝π－（α1－α2）＝π＋（α2－α1） ∴tanθ＝tan（α2－α1）或tanθ＝tan［π＋（α2－α1）］＝tan（α2－α1）于是tanθ＝ ［师］根据两直线的夹角定义可知，夹角在(0°，90°］范围内变化，所以夹角正切值大于或等于0.故可以由l1到l2的角取绝对值而得到l1与l2的夹角公式. 4.直线l1和l2的夹角公式 tanα＝ ［师］下面，我们通过例题讲解进一步熟悉两个公式的应用. 5.例题讲解 ［例4］求直线l1：y＝－2x＋3，l2：y＝x－的夹角(用角度制表示). 解：由两条直线的斜率k1＝－2，k2＝1得 tanα＝ ∴α＝arctan3＝71°3４′ 评述：此题是直接应用两直线的夹角公式，要求学生熟练掌握. ［例5］等腰三角形一腰所在直线l1的方程是x－2y－2＝0，底边所在直线l2的方程是x＋y－1＝0，点(－2，0)在另一腰上，求这条腰所在直线l3的方程. 分析：已经已知l3上一点，故求出l3的斜率k3即可，如图，根据等腰三角形的性质，可得到π－θ1＝π－θ2，即θ1－θ2，而θ1、θ2分别为直线l1到l2与l2到l3的角，而根据公式这两角都可用斜率表示，由此可建立关于k3的方程. 解：设l1、l2、l3的斜率分别为k1，k2，k3，l1到l2的角是θ1，l2到l3的角是θ2，则k1＝，k2＝－1. ∴tanθ1＝＝－3. 因为l1、l