棱柱如何把四面体补成平行六面体.docVIP

如何把四面体补成平行六面体 任何一个四面体都可以补成一个平行六面体，使四面体的棱恰为平行六面体各面上的一条对角线，并且下列重要性质： 1．任何四面体都可以补成一个平行六面体，使四面体的各棱为平行六面体各面上的一条对角线，且V四面体=V平行六面体. 2.若有一对相对棱长相等，则补成的平行六面体中一对相对的面为矩形；若三对相对棱长分别相等，且有一个面为锐角三角形，则四面体可以补成一个长方体. 3.棱长为a的正四面体可以补成一个棱长为的正方体. 请读者自己完成这些性质的证明. 本文说明这些性质的应用. 例1如图1，四面体S—ABC中，三组对棱分别相等，且依次为2、、2，求四面体的体积. 图1 分析：由于底面△ABC的三条边长都不相等，三条侧棱长SA、SB、SC也都不相等，所以如果按常规方法：V=去求体积，△ABC面积的计算或者顶点S到底面ABC的距离h都很复杂，但根据性质（2），可以将它补成长方体，不妨令SB=AC=2，SC=AB=，SA=BC=2，则四个面是全等的三角形，在△SBC中，SB最大，所以∠SCB最大，而 cosSCB=0， 所以△SCB为锐角三角形，可以补成一个长方体，不妨令长方体的长、宽、高分别为x、y、z， 则有 x2+y2=13，y2+z2=20， z2+x2=8， 解得 x= 所以 V长方体= V四面体=V长方体= 例2.图2是一体积为72的正四面体，连结两个面的重心E、F，则线段EF的长_______. 分析：由性质（3）可知，正四面体可以补成一个正方体，正方体的体积为 3V正四面体=3·72=216， 则正方体的棱长为 =6， 而 EF=BD，BD为正方体的对角线，所以 BD=6，EF=2. 图2 例3.如图3，从空间一点出发的四条射线两两夹角为，则cos=________. 分析：如图4，从一点出发的四条射线，两两夹角都为，这样的点可设想为正四面体的中心O，若把它补成正方体，即为正方体的中心，所以设∠AOB=，正方体的棱长为1，则 图3 图4 OA=OB=，AB= 所以 cos=. 例4.如图5，四面体ABCD的各棱长为1，P为棱AB的中点，Q为CD的中点，求线段PQ的长. 图5 图6 分析：如图6，将正四面体补成正方体，则PQ实质上是正方体两个对面之间的距离，即为正方体的棱长，所以 PQ= 例5．如图7，设E、F、G分别是正四面体ABCD的棱AB、BC、CD的中点，则二面角C—FG—E的大小是（ ） arcsin B． C．－arctan D. 分析 如果把正四面体补成正方体，则AB、BC、CD都是面对角线，中点E、F、G即是各面的中心，则平面EFG是与正方体的一个表面平行的一个平面，而面BCD是正方体中三条面对角线组成的截面，因此，所要求的二面角实质上是正方体中，截面与底面所成角中的一只钝角. 即如图8中的∠COF， 而 tanCOE= 所以 cotCOE= 故 ∠COF=－arccot选D. 图8 例6．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，求这个球的体积. 分析：由棱长为a的正四面体，一个球与正四面体，可以补成棱长为的正方体，而一个球与正四面体的六条棱都相切，即这个球与正方体的六个面都相切，因此，球的半径即为正方体棱长的，即 R=，所以 V球= 图7