棱柱解立体几何题常见错误剖析.docVIP

解立体几何题常见错误剖析 学生在解答立体几何问题中暴露的诸多薄弱环节，突出表现为空间想象能力较差，空间概念模糊，从而导致计算、论证等方面的错误.本文根据平时常见错误加以剖析，仅供参考. 1.概念不清 例1.一个正方体A1B1C1D1-ABCD的棱长为a.(1)过它的上底两邻边A1D1、D1C1的中点E1、F1和下底的中心O作一个截面，求这个截面的面积；（2）求E1与BB1的距离. 错解：（1）所求截面面积为△OE1F1的面积.(2)E1与BB1中点连线的长，即为E1与BB1的距离. 诊断：（1）错因在于对平面这个基本性质未透彻理解.根据公理1、2，过E1、F1、O三点的平面与正方体的交线分别为E1F1、F1C、CA和AE1，所以梯形 图1 E1F1CA才是所求截面.(2)对点到直线的距离概念理解不确切、不深刻所致.实质上，E1与B1的连线的长，即为E1与BB1的距离. 改正：略. 2．直观图画错 例2 求半径为R的球内接正方体的体积. 错解：如图2，设正方体棱长为x，则 x2+ x2=(2R)2， ∴x= 故V正方体=x3=()3=. 图2 图3 图4 诊断：本题需根据题意正确地建立所需的直观图，学生在作轴截面图形时，未想到：如果轴截面也是正方体的对角面，则内接的并非是正方形而应是长方形，如图3；如果轴截面是正方体的中截面，则正方形（对角线长为）不内接于圆，如图4. 改正：略. 3.空间图形处理错误 例3．( 1993年全国高考理科23题)如图5，ABCD是正方形，E是AB的中点，如将△DAE和△CBE分别沿虚线DE和CE折起，使AE与BE重合，设A与B重合后的点为P，则平面PCD与平面ECD所成的二面角为____度. 错解：∵PE⊥PC， 图5 ∴∠PCE就是所求二面角的平面角. 又在Rt△CDE中，PC=BC，PE=BE=BC. ∴tan=， 故=arctan 诊断：从表面来看，此解好像错因在于二面角的平面角概念不清.事实上，应完全归咎于空间图形的处理能力低下.只凭题给的俯视图进行论证是相当困难的，关键是要正确想象，画出折叠后的空间图形，对照空间与平面图形，挖掘哪些位置与数量关系是不变的，哪些是变化的，才能有效地进行运算和推理. 改正：折叠后如图6，取DC中点F，连结PF、EF.由PD=PC，ED=EC，可知EF⊥DC，PF⊥DC，所以∠EFP为所求二面角的平面角. ∵EP⊥PD，EP⊥PC. ∴EP⊥平面PCD. ∴EP⊥PF. 设正方形ABCD的边长为a，在Rt△EPF中， EP=AE=EF=AD=a. ∴sinEFP= 图6 ∴∠EFP=30° 故平面PCD与平面ECD所成的二面角为30°. 4.数学语言互译失效 例4. (1994年全国高考理科11题)对于直线m、n和平面、，⊥的一个充分条件是( ) A. m⊥n， m∥，n∥ B. m⊥n， ∩=m， n C. m∥n， n⊥， m D. m∥n， m⊥，n⊥ 错解：由A，知互相垂直的两条直线分别平行于两平面，则这两平面一定垂直，如图7所示，因此，应选A. 图7 诊断：此解中，由于在数学语言互译时，以特殊文字语言代替一般符号语言，以特殊图形语言代替一般文字语言，致使不同数学语言对应的命题不等价，数学语言互译失效.本题以数学符号语言表述，解答时，首先应将符号语言翻译成文字语言，弄懂题意，搞清选择支内容，然后在不改变题意的前提下全面考虑各种情形画出相应的图形（将文字语言翻译成图形语言）.对于应排除的选择支，通过画出反例的图形就能判断A、B、D错误.如图8，从而说明此解错误. 图8 5.未加证明而计算 例5．如图9，已知平面⊥平面，∩=MN，AC，BD，且AC⊥MN，BD⊥MN，AC=6cm，AB=8cm，BD=24cm，求CD的长度. 错解：∵AD=8cm， 又∵AC⊥MN， ∴Rt△ADC中， CD==26cm. 图9 诊断：此解虽答数没错，但由AC⊥MN，就说△ADC为Rt△，这在立体几何中需要加以证明. 改正：略. 6.考虑不周 例6．(1984年全国高考理科试题)已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，则圆柱的体积是_____. 错解：由题意，知圆柱底面周长为4，高为2， ∴V圆柱= 故所求圆柱的体积是 诊断：显然，此解中因思维不全面而漏掉