棱柱典例剖析(棱柱习题课).docVIP

［例1］斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6,求这个棱柱的体积. 解法一：如图9—138，沿斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧面BB1C1C的面积为S，A1A和面BB1C1C的距离为6,在AA1上取一点P作直截面PQR，则AA1⊥截面PQR，AA1⊥RQ，∴截面PQR⊥侧面BB1C1C，过P作PO⊥QR于O，则PO⊥侧面BB1C1C，且PO=6. 图9—138 图9—139 解法二：如图9—139，将斜三棱柱补成平行六面体ABCD—A1B1C1D1，因为三棱柱ABC—A1B1C1与三棱柱ACD—A1C1D1等底等高. 面AA1D1D到面BB1C1C的距离.就是AA1到BB1C1C的距离.因此平面六面体BB1C1C—AA1D1D的底面积为10，高为6，所以V平行六面体=60. ［例2］在底面边长为a,侧棱长为2a的正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，求 (1)点B到平面AB1C的距离. (2)以B1C为棱，AB1C和BB1C为面所成二面角的正切值. 解：(1)如图9—140，设E为AC的中点,作BO⊥B1E于O, ∵AC⊥BE,BB1⊥平面ABCD. ∴AC⊥平面BB1E,∴AC⊥BO. ∴BO为B到平面AB1C的距离. 在Rt△B1BE中,BE= , 由面积关系得 (2)由BO⊥平面AB1C，AF⊥B1C，∴BF⊥B1C，∴∠BFA是二面角A—B1C－B的平面角，在Rt△BB1C中，BF·B1C＝BB1·BC， ︰. ［例3］在？ABCD中，∠A＝60°，AD＝１，AB＝２，点M和点N分别为DC和AB的中点，以MN为棱将ABCD折成60°的二面角A—MN—C′，其中A、D位置不动，折后B、C的位置分别为B′，C′. (1)求证：MN⊥B′D (2)求三棱柱AB′N-DC′M的体积 (1)证明：如图9—141，连结BD交MN于E，∵M、N分别为AB、DC和中点，∴MN∥AD，而AD＝１，且AB＝２，∠A＝６０°，∴AD⊥DB ∴DB⊥ＭＮ，且BＥ＝DＥ，则将ABCD折成以MN为棱的二面角，则B′Ｅ⊥ＭＮ，DＥ⊥ＭＮ，∴ＭＮ⊥平面B′DE，又B′D平面B′DE，∴MN⊥B′D. (2)：如图9—142由(1)知，∠DEB′为二面角A—MN—C′的平面角，∴∠DEB′＝60°，且平面B′ED为棱柱的直截面，∴Ｖ三棱柱＝S△B′DE·MN＝由Rt△BDA中，AB＝2，AD＝1，∠A＝60°，∴DB＝， 图9—140 图9—141 图9—142