相似三角形旋转型-初中数学模型与解题方法专题训练（解析版）.pdfVIP

初中数学模型与解题方法专题

相似三角形旋转型

一、单选题

1．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，使点C落在C′

的位置，C′D交AB于点Q，则的值为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，

∵∠ADC＝45°，

∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE＝AD，

在Rt△ABC中，

∵∠BAC＝90°，AD是△ABC的中线，

∴AD＝CD＝BD，

由折叠得：AC＝AC′，∠ADC＝∠ADC′＝45°，CD＝C′D，

∴∠CDC′＝45°+45°＝90°，

∴∠DAC＝∠DCA＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°＝∠C′AD，

∴∠B＝90°﹣∠C＝∠CAE＝22.5°，∠BQD＝90°﹣∠B＝∠C′QA＝67.5°，

∴AC′＝AQ＝AC，

由△AEC∽△BDQ得：＝，

∴＝＝＝＝．

故选：A．

2．如图，正方形中，点边上一点，连接，以为对角线作正方形，边与正方

形的对角线相交于点，连接．以下四个结论：①；②；③

；④．其中正确的个数为（）

A．个B．个C．个D．个

【答案】D

【详解】解：①∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形

∴∠EAG=∠BAD=90°

又∵∠EAB=90°-∠BAG，∠GAD=90°-∠BAG

∴∠EAB=∠GAD

∴①正确

②∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形

∴AD=DC，AG=FG

∴AC=AD，AF=AG

∴，

即

又∵∠DAG+∠GAC=∠FAC+∠GAC

∴∠DAG=∠CAF

∴

∴②正确

③∵四边形AEFG和四边形ABCD均为正方形，AF、AC为对角线

∴∠AFH=∠ACF=45°

又∵∠FAH=∠CAF

∴△HAF∽△FAC

∴

即

又∵AF=AE

∴

∴③正确

④由②知

又∵四边形ABCD为正方形，AC为对角线

初中数学模型与解题方法专题

∴∠ADG=∠ACF=45°

∴DG在正方形另外一条对角线上

∴DG⊥AC

∴④正确

故选：D．

3．如图，在矩形ABCD中，EAD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，给出下列四个结论：①△AEF∽△

CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④SABF：SCDEF＝2：5，其中正确的结论有（）

△四边形

A．1个B．2个C．3个D．4个

【答案】D

【详解】如图，过D作DM∥BE交AC于N，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝BC，

∵BE⊥AC于点F，

∴∠EAC＝∠ACB，∠ABC＝∠AFE＝90°，

∴△AEF∽△CAB，故①正确；

∵AD∥BC，

∴△AEF∽△CBF，∴＝，

∵AE＝AD＝BC，

∴＝，∴CF＝2AF，故②正确，

∵DE∥BM，BE∥DM，

∴四边形BMDE是平行四边形，

∴BM＝DE＝BC，∴BM＝CM，

∴CN＝NF，

∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，

∴DN⊥CF，∴DF＝DC，故③正确；

∵△AEF∽△CBF，

∴＝＝，

∴SAEF＝SABF，SABF＝SABCD，

△△△矩形

∴SAEF＝SABCD，

△矩形

又∵SCDEF＝SAC