因式分解2原卷版 初中数学竞赛讲义.pdfVIP

初中数学竞赛

因式分解（二）

【知识概述】

上一讲主要介绍了因式分解的三种拓展，分别为换元法、双十字相乘、待定系数法．本

讲主要介绍另一种因式分解常用方法和技巧，即主元法，以及因式分解在各种问题中的应用。

因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，对于培养学生的观察、思考、解

运算和综合分析解决问题的能力都有着十分独特的作用．

【知识结构】

模块一主元法

【知识精要】

所谓主元法就是在因式分解含多个字母的代数式时，选定一个字母为主元（未知数），

将其他字母看作常数，把代数式整理为关于主元的降幂排列（或升幂排列），然后再用所学

过的公式法、分组分解法、十字相乘法等进行因式分解．

用主元法因式分解的关键在于如何选取“主元”，通常有以下几个原则：

（1）低次做主元：未知数次数有高有低时，通常选取低次（最高不超过2次）的字母为主

元，便于分清结构，因式分解；

（2）常量做主元：有些结构复杂的多项式若反客为主，选取不常作为未知数的字母为主元，

有时更能简化原式结构；

（3）对称元做主元：当多项式中各变元依次互换后，所得式子与原式相同，这样的对称式

中任何字母均可作为主元；

此外若所有字母地位几乎对等，项数、次数差不多，此时一般也可选取任何字母作为主

元，例如能用双十字相乘分解的多项式，也可用主元法分解．

用主元法解决问题可以排除多个字母间的干扰，简化多项式的结构．

【典型例题】

1.因式分解：．

【名师点拨】原多项式为包含、两个变元的六次八项式，结构较为复杂，很难直接

因式分解，注意到最高次为4次，而最高次为2次，因此可考虑从低次的入手，

将看作主元，看作常量，整理成关于的二次式，从而简化多项式的结构．

【答案】

初中数学竞赛

2.因式分解：

（1）；

（2）．

【名师点拨】考查低次做主元．

【答案】

3.因式分解：

（1）；

（2）．

【名师点拨】考查主元法．

【答案】（1）；（2）．

4.因式分解：．

【名师点拨】考查含多个字母的主元法．

【答案】．

模块二因式分解的应用

【知识精要】

因式分解作为处理代数式的常用工具，在许多数学问题中都有应用。

初中数学竞赛

数论是研究整数相关问题的数学分支，在中学课内阶段主要对应六年级同整数相关的内

容，在自招和竞赛中有较多的涉及．因式分解在解决数论中的整除性，素数和合数，完全平

方数等相关的问题中有较多的应用．

此外，因式分解在其他与代数式有关的实际问题中也有广泛应用。

【典型例题】

5.（1）证明：是合数．

（2）能被500至600中的若干个数整除，试写出三个这样的数．

【答案】（1）略；（2）511，513，545．

【解析】（1）

6.证明：具有如下性质的自然数有无穷多个，对于任意的自然数，都不是素

数．

【答案】略．

7.已知，求证：是一个完全平方数．

【名师点拨】对于这类问题可以先从比较小的数开始发现规律，从而发现证明的逻辑．

如