线性方程组的消元法和矩阵的初等变换.pptVIP

例如是一个3阶方阵.几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称为行矩阵(或行向量).行数与列数都等于的矩阵，称为阶方阵.也可记作第31页，共49页，星期日，2025年，2月5日只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).称为对角矩阵(或对角阵）.（3）形如的方阵,不全为0第32页，共49页，星期日，2025年，2月5日注意不同阶数的零矩阵是不相等的.例如记作（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.第33页，共49页，星期日，2025年，2月5日（5）方阵称为单位矩阵（或单位阵）.同型矩阵与矩阵相等的概念1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为同型矩阵.全为1第34页，共49页，星期日，2025年，2月5日2.两个矩阵为同型矩阵,并且对应元素相等,即则称矩阵相等,记作例如为同型矩阵.第35页，共49页，星期日，2025年，2月5日第1页，共49页，星期日，2025年，2月5日第一节线性方程组的消元法一、线性方程组的基本概念1.线性方程组的定义引例 有三家生产同一种产品的工厂A1、A2、A3，其年产量分别为40t，20t和10t，该产品每年有两个用户B1、B2，其用量分别为45t和25t第2页，共49页，星期日，2025年，2月5日引例有三家生产同一种产品的工厂A1、A2、A3，其年产量分别为40t，20t和10t，该产品每年有两个用户B1、B2，其用量分别为45t和25t不妨假设每吨货物每公里的运费为1元，问各厂的产品如何调配才能使总运费最少？第3页，共49页，星期日，2025年，2月5日解设各厂到各用户的产品数量如表1-2依题意，3个厂的总产量和用户的总用量相等：第4页，共49页，星期日，2025年，2月5日再来看总运费，由表1-1：12于是，题目要解决的问题是：使之满足方程组①和②并使总运费最少.第5页，共49页，星期日，2025年，2月5日几个线性方程联立在一起，称为线性方程组，若未知数的个数为n，方程个数为m，则线性方程组可以写成如下形式：若常数项均为0，则称方程组为齐次线性方程组，否则，称为非齐次线性方程组.第6页，共49页，星期日，2025年，2月5日2.线性方程组的线性组合线性方程的加法：将两个线性方程(1)(2)的左右两边相加得到如下的新线性方程：称为原来两个线性方程的和。第7页，共49页，星期日，2025年，2月5日线性方程乘常数将线性方程两边同乘以已知常数，线性方程与常数相乘，也称为方程的数乘。线性方程的线性组合将线性方程(1)和(2)分别称两个已知常数再将所得的两个方程相加，得到新方程：得到一个新的线性方程：第8页，共49页，星期日，2025年，2月5日(3)称为原来两个方程(1)和(2)的一个称为这个线性方程的组合系数。将(1)和(2)看作一个线性方程组，其任意组解一定是线性组合(3)的解。对给定的两个线性方程组(I)和(II)，如果(II)中每个方程都是(I)中方程的线性组合，就称(II)是(I)的线性组合。线性组合，若方程组(I)和(II)互为线性组合，则称这两个方程组等价，等价的线性方程组一定同解。将方程组(I)变成方程组(II)的过程称为同解变换。第9页，共49页，星期日，2025年，2月5日例1二、线性方程组的消元法求解线性方程组1、线性方程组的初等变换第10页，共49页，星期日，2025年，2月5日解第11页，共49页，星期日，2025年，2月5日用“回代”的方法求出解：第12页，共49页，星期日，2025年，2月5日于是解得(2)第13页，共49页，星期日，2025年，2月5日小结：1．上述解方程组的方法称为消元法．2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如下三种变换（1）交换方程次序；（2）以不等于０的数乘某个方程；（3）一个方程加上另一个方程的k倍．（以替换）定义1上述三种变换均称为线性方程组的初等变换．（以替换）（与相互替换）第14页，共49页，星期日，2025年，2月5日3．上述三种变换都是可逆的．由于三种变换