等比数列知识点总结与典型例题+答案.docxVIP

PAGE PAGE 15 等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义： 2、通项公式：  an ? q a n?1 ?q ? 0 ??n ? 2,且n ? N *  ?， q 称为公比 ? aa ? a qn?1 ? 1 qn ? A ? Bn ?a ? q ? 0, A ? B ? 0?，首项： a ；公比： q a n 1 q 1 1 推广： a n ? a qn?m ? qn?m ? a nm a n m  ? q ? an a n?m an m ab如果a, A, b 成等比数列，那么 A 叫做a 与b 的等差中项，即： A2 ? ab 或 A ? ? ab 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（ 数列?a ?是等比数列? a 2 ? a ? a n n n ?1 n ?1 4、等比数列的前n 项和 S n 公式： 当q ? 1 时， S n ? na 1 a? ? a 当q ? 1 时， S a 1? qn ? 1 a q ? 1 n n 1? q 1? q aa? 1 ? 1 qn ? A ? A ? Bn ? A Bn ? A （ A, B, A , B 为常数） a a 1? q 1? q 5、等比数列的判定方法： 用定义：对任意的n ，都有a  n?1  ? qa n  或 n?1 ? q(q为常数，a a n an a  ? 0) ? {a n  } 为等比数列 等比中项： a 2 ? a a (a a ? 0) ? {a } 为等比数列 n n?1 n?1 n?1 n?1 n 通项公式： a n ? A? Bn ?A? B ? 0??{a n }为等比数列 6、等比数列的证明方法： 依据定义：若  an ? q a ?q ? 0 ??n ? 2,且n ? N *  ?或a ? n?1  ? qa n  ? {a n  } 为等比数列 n?1 7、等比数列的性质： 对任何m, n ? N * ，在等比数列{a }中，有a n n ? a qn ?m 。 m 若m ? n ? s ? t(m, n, s, t ? N * ) ，则a ? a n m ? a ? a s t 。特别的，当m ? n ? 2k 时，得a ? a n m ? a 2 k 注： a ? a 1 n ? a ? a 2  n?1 ? a a 3  n?2 ???  等差和等比数列比较： 等差数列 等差数列 等比数列 定义 a ? a n?1 n ? d a n?1 ? q(q ? 0) a n 递推公 式 a ? a n n?1 ? d ； a n ? a m?n md a ? a q ； a n n?1 n ? a m qn?m 通项公 a ? a ? (n ?1)d 式 n 1 a ? a qn?1 （ a , q ? 0 ） n 1 1 中项 A ? an?k ? an? k 2 （ n, k ? N * , n ? k ? 0 ） G ? ? a n ? k n ? k n ? k n ? k a (a a ? 0) （ n, k ? N * , n ? k ? 0 ） S ? n (a 前 2 1 n a ) n 项和 n S ? na n 1 ? n(n ?1) d S n ? ? ? na (q ? 1) 1 ? a 1 ? qn 1 ? ? ? ? a ?a q 2 1 n 1 ? q (q ? 2) 重要 a ? a ? a ? a ? a ? a 1 ? q ? a a m n p q m n p q 性质 (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q) (m, n, p, q ? N * , m ? n ? p ? q) 经典例题透析 类型一：等比数列的通项公式 例 1．等比数列{a n }中， a ? a 1 9 ? 64 , a ? a 3 7 ? 20 ,求a . 11 思路点拨：由等比数列的通项公式，通过已知条件可列出关于a 1 和q 的二元方程组，解出a 1 和q ，可得a 11 ；或注意到下标1? 9 ? 3 ? 7 ，可以利用性质可求出a 3 、a ，再求a . 7 11 总结升华： ①列方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量； ②解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）. 举一反三： 【变式 1】{a }为等比数列，a =3，a =768，求 a 。 n 1 9 6 【变式 2】{a }为等比数列，a ＞0，且 a a =16，求 a a a  的值。 n n