2026版创新设计高考总复习数学（人教B版）-第5节　复 数.docxVIP

第5节复数

课标要求1.理解复数的基本概念.2.理解复数相等的充要条件.3.了解复数的代数表示法及其几何意义.4.会进行复数代数形式的四则运算.5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

【知识梳理】

1.复数的有关概念

(1)定义:一般地,当a与b都是实数时,称a+bi为复数.复数一般用小写字母z表示,即(a,b∈R),其中a称为z的,称为z的虚部.

(2)分类:

满足条件(a,b为实数)

复数的

分类

a+bi为实数?

a+bi为虚数?

a+bi为纯虚数?

(3)复数相等:a+bi=c+di?(a,b,c,d∈R).

(4)共轭复数:如果两个复数的实部,而虚部互为,则称这两个复数互为共轭复数,复数z的共轭复数用z表示.当z=a+bi时,z=.

(5)模:向量OZ=(a,b)的长度称为复数z=a+bi(a,b∈R)的模(或绝对值),复数z的模用|z|表示,因此|z|=.当b=0时,|z|=a2=.

2.复数的几何意义

复数z＝a＋bi与复平面内的点________及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系.

3.复数的运算

(1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.

(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即eq\o(OZ,\s\up6(→))＝________，eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))＝____________.

[常用结论与微点提醒]

1.i的乘方具有周期性

i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.

2.(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i.

3.复数的模与共轭复数的关系z·eq\o(z,\s\up6(－))＝|z|2＝|eq\o(z,\s\up6(－))|2.

【诊断自测】概念思考辨析＋教材经典改编

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.()

(2)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.()

(3)原点是实轴与虚轴的交点.()

(4)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.()

2.(人教A必修二P69例1改编)若复数z＝m＋1＋(m－1)i为纯虚数，则实数m＝________.

3.(人教A必修二P94T1(2)改编)复数eq\f(5,i－2)的共轭复数是________.

4.(北师大必修二P183例5改编)计算：(－2－i)·(3＋i)＝________.

考点一复数的概念

例1(1)(2025·广州调研)复数z满足(1＋i)z＝i，i为虚数单位，则下列说法正确的是()

A.|z|＝1

B.z在复平面内对应的点位于第二象限

C.z的实部为eq\f(1,2)

D.z的虚部为eq\f(1,2)i

(2)(2025·宜春质检)如果复数z＝m2＋m－2－(m－1)i是纯虚数，m∈R，i是虚数单位，则()

A.m≠1且m≠－2 B.m＝1

C.m＝－2 D.m＝1或m＝－2

思维建模解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

(2)解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.

训练1(1)(多选)(2025·漳州模拟)若(1＋i)a＋bi＝4i，a，b∈R，则()

A.a＝1 B.b＝4

C.a－b＝－4 D.ab＝0

(2)已知复数z满足|z|＝|z－1|＝1，且复数z对应的点在第一象限，则下列结论正确的是()

A.复数z的虚部为－eq\f(\r(3),2)

B.z＝eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i

C.z2＝z