形如奇函数y=x.(ax^2+b)的图像画法及性质详解D5.docVIP

函数y=eq\f(183x,323x2+153)的性质及图像画法

主要内容：

本文主要介绍函数y=eq\f(183x,323x2+153)的定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性等性质，并简要画出函数的图像示意图。

函数的定义域：

∵分母323x2+153≥153＞0，即分母为正的实数，再取倒数函数有意义，

∴函数的定义域为全体实数，即：(-∞，+∞)。

函数的单调性：

可用基本不等式来解析，分子分母同时除x有：

y=eq\f(183x,323x2+153)=eq\f(183,323x+eq\f(153,x)),

对于分母g(x)=323x+eq\f(153,x)有：

(1)当x＞0时，g(x)≥2eq\r(323x*eq\f(153,x))=102eq\r(19)，取等号时x=eq\f(3,19)\r(19)≈0.69，则函数增区间为(0，0.69)，减区间为[0.69,+∞);

(2)当x＜0时，g(x)≤-2eq\r(323x*eq\f(153,x))=-102eq\r(19)，取等号时x=-eq\f(3,19)\r(19)≈-0.69，则函数增区间为(-0.69,0)，减区间为(-∞,-0.69]。或者，用导数知识求解有：

y=eq\f(183x,323x2+153),

eq\f(dy,dx)=eq\f(183*(323x2+153)-2*323*183x2,(323x2+153)2)

=-eq\f(183(323x2-153),(323x2+153)2),令eq\f(dy,dx)=0,则:323x2-153=0,即323x2=153，求出：

x=±eq\f(3,19)\r(19)≈±0.69，函数单调性为：

(1)当x∈(-∞，-0.69)∪(0.69，+∞)时，eq\f(dy,dx)≤0，函数y为减函数；

(2)当x∈[-0.69，0.69]时，eq\f(dy,dx)0，此时函数y为增函数。

函数的凸凹性：

eq\f(dy,dx)=-183eq\f(323x2-153,(323x2+153)2),

eq\f(d2y,dx2)=-183*eq\f(2*323x(323x2+153)2-(323x2-153)*4*323x(323x2+153),(323x2+153)?)

=-183*eq\f(2*323x(323x2+153)-4*323x(323x2-153),(323x2+153)3)

=2*323*183*eq\f(x(323x2-3*153),(323x2+153)3).

令eq\f(d2y,dx2)=0，则x=0或者323x2-3*153=0，求出:

x=±eq\f(3,19)eq\r(57)≈±1.19，函数y凸凹性为：

(1)当x∈[-1.19，0]∪(1.19，+∞)时，eq\f(d2y,dx2)0，函数y为凹函数；

(2)当x∈(-∞,-1.19)∪(0,1.19]时，eq\f(d2y,dx2)≤0，函数y为凸函数。

函数的奇偶性：

因为:f(x)=eq\f(183x,323x2+153),所以:

f(-x)=eq\f(183(-x),323(-x)2+153)=-eq\f(183x,323x2+153)=-f(x).

函数f(x)为奇函数，图像关于原点对称。

函数的极限：

Lim(x→-∞)eq\f(183x,323x2+153)=0，Lim(x→+∞)eq\f(183x,323x2+153)=0，

Lim(x→0+)eq\f(183x,323x2+153)=0，Lim(x→0-)eq\f(183x,323x2+153)=0.

函数的特征点图表：

x

-2.19

-1.69

-1.19

-0.69

7482

0.69

1.19

1.69

2.19

183x

-400.77

-309.27

-217.77

-126.27

126.27

217.77

309.27

400.77

323x2+153

1702.14

1075.52

610.40

306.78

306.78

610.40

1075.52

1702.14

y

-0.24

-0.29

-0.36

-0.41

0

0.41

0.36

0.29

0.24

函数的图像示意图：

y=eq\f(183x,323x2+153)

y

(0.69,0.41)

(1.19,0.36)

(2.19,0.24)

(-2.19,-0.24)

(-1.19,-0.36)

(-0.69,-0.41)