形如奇函数y=x.(ax^2+b)的图像画法及性质详解D6.pdfVIP

28x

函数y=的性质及图像画法

378x²+249

主要内容：

28x

本文主要介绍函数y=的定义域、值域、单调性、奇偶

378x²+249

性、凸凹性等性质，并简要画出函数的图像示意图。

函数的定义域：

∵分母378x²+249≥249＞0，即分母为正的实数，再取倒数函数有

意义，

∴函数的定义域为全体实数，即：(-∞，+∞)。

函数的单调性：

可用基本不等式来解析，分子分母同时除x有：

28x28

y==,

378x²+249249

378x+

x

249

对于分母g(x)=378x+有：

x

249

(1)当x＞0时，g(x)≥2378x*=181162，取等号时

x

1

x=421162≈0.81，则函数增区间为(0，0.81)，减区间为[0.81,+∞);

249

(2)当x＜0时，g(x)≤-2378x*=-181162，取等号时

x

1

x=-421162≈-0.81，则函数增区间为(-0.81,0)，减区间为(-∞,-0.81]。

或者，用导数知识求解有：

28x

y=378x²+249,

dy28*(378x²+249)-2*378*28x²

=

dx(378x²+249)²

28(378x²-249)dy

=-,令=0,则:378x²-249=0,即378x²=249，求出：

(378x²+249)²dx

1

x=±1162≈±0.81，函数单调性为：

42

dy

(1)当x∈(-∞，-0.81)∪(0.81，+∞)时，≤0，函数y为减函数；

dx

dy

(2)当x∈[-0.81，0.81]时，0，此时函数y为增函数。

dx

函数的凸凹性：

dy378x²-249

=-28,

dx(378x²+249)²

d²y2*378x(378x²+249)²-(378x²-249)*4*378x(378x²+249)

=-28*

dx²(378x²+249)⁴

2*378x(378x²+249)-4*378x(378x²-249)

=-28*

(378x²+249)³