形如奇函数y=x.(ax^2+b)的图像画法及性质详解D9.docVIP

函数y=eq\f(114x,89x2+83)的性质及图像画法

主要内容：

本文主要介绍函数y=eq\f(114x,89x2+83)的定义域、值域、单调性、奇偶性、凸凹性等性质，并简要画出函数的图像示意图。

函数的定义域：

∵分母89x2+83≥83＞0，即分母为正的实数，再取倒数函数有意义，

∴函数的定义域为全体实数，即：(-∞，+∞)。

函数的单调性：

可用基本不等式来解析，分子分母同时除x有：

y=eq\f(114x,89x2+83)=eq\f(114,89x+eq\f(83,x)),

对于分母g(x)=89x+eq\f(83,x)有：

(1)当x＞0时，g(x)≥2eq\r(89x*eq\f(83,x))=2eq\r(7387)，取等号时x=eq\f(1,89)\r(7387)≈0.97，则函数增区间为(0，0.97)，减区间为[0.97,+∞);

(2)当x＜0时，g(x)≤-2eq\r(89x*eq\f(83,x))=-2eq\r(7387)，取等号时x=-eq\f(1,89)\r(7387)≈-0.97，则函数增区间为(-0.97,0)，减区间为(-∞,-0.97]。或者，用导数知识求解有：

y=eq\f(114x,89x2+83),

eq\f(dy,dx)=eq\f(114*(89x2+83)-2*89*114x2,(89x2+83)2)

=-eq\f(114(89x2-83),(89x2+83)2),令eq\f(dy,dx)=0,则:89x2-83=0,即89x2=83，求出：

x=±eq\f(1,89)\r(7387)≈±0.97，函数单调性为：

(1)当x∈(-∞，-0.97)∪(0.97，+∞)时，eq\f(dy,dx)≤0，函数y为减函数；

(2)当x∈[-0.97，0.97]时，eq\f(dy,dx)0，此时函数y为增函数。

函数的凸凹性：

eq\f(dy,dx)=-114eq\f(89x2-83,(89x2+83)2),

eq\f(d2y,dx2)=-114*eq\f(2*89x(89x2+83)2-(89x2-83)*4*89x(89x2+83),(89x2+83)?)

=-114*eq\f(2*89x(89x2+83)-4*89x(89x2-83),(89x2+83)3)

=2*89*114*eq\f(x(89x2-3*83),(89x2+83)3).

令eq\f(d2y,dx2)=0，则x=0或者89x2-3*83=0，求出:

x=±eq\f(1,89)eq\r(22161)≈±1.67，函数y凸凹性为：

(1)当x∈[-1.67，0]∪(1.67，+∞)时，eq\f(d2y,dx2)0，函数y为凹函数；

(2)当x∈(-∞,-1.67)∪(0,1.67]时，eq\f(d2y,dx2)≤0，函数y为凸函数。

函数的奇偶性：

因为:f(x)=eq\f(114x,89x2+83),所以:

f(-x)=eq\f(114(-x),89(-x)2+83)=-eq\f(114x,89x2+83)=-f(x).

函数f(x)为奇函数，图像关于原点对称。

函数的极限：

Lim(x→-∞)eq\f(114x,89x2+83)=0，Lim(x→+∞)eq\f(114x,89x2+83)=0，

Lim(x→0+)eq\f(114x,89x2+83)=0，Lim(x→0-)eq\f(114x,89x2+83)=0.

函数的特征点图表：

x

-3.07

-2.37

-1.67

-0.97

6

0.97

1.67

2.37

3.07

114x

-349.98

-270.18

-190.38

-110.58

684

110.58

190.38

270.18

349.98

89x2+83

921.82

582.90

331.21

166.74

3287

166.74

331.21

582.90

921.82

y

-0.38

-0.46

-0.57

-0.66

0

0.66

0.57

0.46

0.38

函数的图像示意图：

y=eq\f(114x,89x2+83)

y

(0.97,0.66)

(1.67,0.57)

(3.07,0.38)

(-3.07,-0.38)

(-1.67,-0.57)

(-0.97,-0.66)